Статистическая гипотеза. Общая схема ее проверки. Ошибки I и II ого рода.

Предположение относительно парам-ов распределения, а также сымих распределений, полученные в рез-те анализа стат. Данных наз-ся стат.гипотезами.

Различают основную (нулевую) Н₀ и конкурирующую (альтернативную) Н₁ гипотезы.

Основной наз-ся гипотеза, подлежащая проверке. Конкурирующая – гипотеза, по смыслу противоречащая основной.

Основную гипотезу как правило выбирают в виде Н₀: , где - оценка пар-ра .

Конкурирующая: Н₁:

Выбор конкурирующей гипотезы влияет на вид критической области. Критической наз-ся область, возможные значения которой, соответствующие статистике критерия, отвергают основную гипотезу. Критическая область может быть односторонней (левосторонней или правосторонней) и двусторонней. Если Н₁: , то крит.область двусторонняя.

Н₁: - односторонняя критическая область

Статистика критерия – СВ, определяемая по функции выборки, закон распределения которой хотя бы асимптотически () сходится к одному из точных законов распределения.

Общая схема проверки стат.гипотез состоит в опр-ии:

1)основной и конкурирующей гипотез

2)статистики критерия

3)критической области

4)если статистика критерия оказалась в крит.области, то основная гипотеза отвергается. На выбранном уровне значимости, в противном случае основную гипотезу оставляют на последующие исследования.

В рез-те проверки стат.гипотез возможны след.исходы:

1. Основная гипотеза верна и не отвергается в рез-те проверки

2. Основная гипотеза верна, но отвергается по выбранному числовому критерию (ошибка 1ого рода)

3. Основная гипотеза ошибочна, но принимается за верную по выбранному числовому критерию (ошибка 2ого рода)

4. Основаня гипотеза ошибочна и отвергается по выбранному критерию

Пусть - закон распределения признака х

- закон распределения признака у

t_кр. – граница крит.области. опр-ся исходя из вида конкурирующей гипотезы, закона распределения статистики критерия, объема стат. Данных и заданного уровня значимости.

 

 

Ошибка 1ого рода

Ошибка 2ого рода

Сокращая ошибку 1ого рода происходит увеличение ошибки 2ого рода и наоборот уменьшая ошибку 2ого рода, увеличиваем 1ого рода.

Границу кр.области целесообразно выбрать из решения реалиционной задачи

где и - плата за единицу ошибки 1ого и 2ого рода соответственно.

Значения на практике не всегда можно определить, поэтому целесообразно наращивать объем анализируемых стат.данных.

Мощностью критерия называют вероятность недопущения ошибки 2ого рода. 1- - мощность крит.

Проверка гипотезы о равенстве средних двух совокупностей при неизвестных дисперсиях.

Даны выборки и предположительно отобранные из нормально распределенных генеральных совокупностей. Значения дисперсий признаков Х и У неизвестны, но предполагается, что Д(Х)=Д(У).

Рассматривается основная гипотеза Н₀: М(Х)=М(У) при конкурирующей гипотезе Н₁: а)М(Х) М(У), б) М(Х)>М(У)-левост.кр.обл. в)М(Х)<М(У)-правост.кр.обл.

Рассматривается числовой критерий

- опр-ся по выборочным данным.

СВ Т распределена по закону Стьюдента со степенями свободы (n+m-2).

Граница крит.области t_кр. Выбирается по таблице крит.значений распределения Стьюдента.

В пункте а)

Н₂ Н₂

 

 

б)

в)

если в пункте а) наблюдаемое значение СВ |Т|< б)Т_набл> в) Т_набл^< , то Н₀ не отвергается, в противном случае основная гипотеза отвергается на уровне значимости в пользу конкурирующей.

Проверка гипотезы о равенстве средних двух совокупностей при известных дисперсиях.

Пусть m и n-объемы независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние Х ̅ и У ̅.

Проверим гипотезу Н0: М(Х)=М(У) при конкурирующей гипотезе Н1: а)М(Х) М(У), б) М(Х)>М(У)-левост.кр.обл. в)М(Х)<М(У)-правост.кр.обл.

Во всех случаях вычисляется статистика критерия: Zнабл=(Х ̅-У ̅)/√((σ_x^2)/m+(σ_y^2)/n).

В а) критическая точка zкр выбирается из условия Ф(zкр)=(1-α)/2. Если |Zнабл|<zкр, то гипотеза Н0 не отвергается, если |Zнабл|>zкр - отвергается.

В б) критическая точка zкр выбирается из условия Ф(zкр)=0,5-α. Если Zнабл<zкр, то гипотеза Н0 не отвергается, если Zнабл>zкр - отвергается.

 

Гистограмма распределения.

Первое, что можно получить из всякой конкретной выборки Х=(х₁,х₂,…,х_n) – это начальное представление о законе распр-я. Осуществляется это путем построения так называемой гистограммы распр-я. Для этого опр-ся диапазон изменения возможных значений исследуемого признака (аналог СВ в ТВ) по имеющейся выборке Х=(х₁,х₂,…,х_n) – от x’=min{x_i} до x”= max{x_i}. Этот диапазон условно подразделяется на М интервалов – так называемых разрядов, или «карманов» гистограммы. Число М выбирается исследователем. Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число М интервалов разбиения M . Если выбрать все разряды одинаковыми по ширине, то ширина разряда будет равняться: h= .

Затем для i-го разряда (i=1,2,…,M) подсчитывается число m_i попавших в него значений СВ. Полученные значения m_i или откладываются в масштабе по вертикали применительно к каждому разряду. Полученная таким образом гистограмма получила название гистограммы распределения признака Х:

На основе гистограммы получаем первичное представление о виде закона распр-я исследуемого признака. При этом выполняются условия: ; .