Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

В широком понимании закон больших чисел – это принцип, согласно которому при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа СВ почти утрачивает случайный характер и становится законным.

Узкое понимание закона больших чисел – ряд теорем, каждая из которых для тех или иных условий устанавливается фактическое приближение некоторых сравнительных характеристик большого числа СВ некоторым постоянным.

Для любой СВ, имеющей матем.ожидание M(X)=a и дисперсию D(X), справедливо неравенство: P(|X-a|>ε)≤D(x)/ε^2 (1 форма).

Учитывая, что события |X-a|>ε и |X-a|≤ε противопоожные, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме: P(|X-a|≤ε)≥1-(D(x))/ε^2 (2 форма).

Неравенство Чебышева для некоторых СВ во 2 форме примет вид:

1)для СВ X=m, имеющей биномиальный закон распр-я с мат.ожиданием M(X)=np и дисперсией D(X)=npq: P(|m-np|≤ε)≥1-npq/ε^2;

2)для частоты m/n события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью M(m/n)=p и имеющей дисперсию D(m/n)=pq/n: P(|m/n-p|≤ε)≥1-pq/〖nε〗^2.

 

Закон больших чисел. Теорема Чебышева

В широком понимании закон больших чисел – это принцип, согласно которому при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа СВ почти утрачивает случайный характер и становится законным.

Узкое понимание закона больших чисел – ряд теорем, каждая из которых для тех или иных условий устанавливается фактическое приближение некоторых сравнительных характеристик большого числа СВ некоторым постоянным.

Теорема Чебышева: Если дисперсия n-независимых СВ ограничены одной и той же постоянной, то при n стремящемся к ∞, средняя арифметическая СВ сходится по вероятности к средней арифметической их мат.ожидания.

 

Док-во: – СВ; i=1,n D(); с=const; i=1,n

Обозначим - мат.ожидание исходных СВ; i=1,n; Для СВ Х=

Запишем неравенство Чебышева в форме 2

P(|x-M(x)| )

M(x)=M =

D(x)=D т.к. - независимая СВ.

С учетом того, что , получаем

D(x)= D(x)

Заменив D(x) на получаем более точное неравенство

Переходя к пределу получаем

 

Ч.т.д.

Отличие понятия сходимости и понятие сходимости по вероятности сост. в том, что если А – явл. пределом функции f(x) при х , то для всех х из дельта окрестности точки выполнялось условие , т.е. (1)

В случае сходимости по вероятности не существует жестких границ интервалов аналогичных неравенству (1). В частности для частоты событий , даже при достаточно больших n невозможно определить границы её изменения, хотя существует тенденция её сходимости к вероятности соответствующего события.

Неравенство Чебышева: Если независимая СВ имеет равные мат.ожидания то при условии что их дисперсия ограниченна одной и той же постоянной имеет место

Закон больших чисел. Теорема Бернулли

В широком понимании закон больших чисел – это принцип, согласно которому при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа СВ почти утрачивает случайный характер и становится законным.

Узкое понимание закона больших чисел – ряд теорем, каждая из которых для тех или иных условий устанавливается фактическое приближение некоторых сравнительных характеристик большого числа СВ некоторым постоянным.

Теорема Бернулли: Частота события при сходится по вероятности к вероятности в отдельном испытании:

Теорема Пуассона: Частота события при сходится по вертикали к средней арифметической вероятности наступления события в отдельных испытаниях

 

Закон больших чисел. Неравенство Маркова

Теорема: Если СВ х принимает не отрицательное значение и имеет мат.ожидание , то для любого положительного А выполняется неравенство

Доказательство:

Пусть - возможные значения СВ х.

A

- вероятности возможных значений СВ x. А – выберем таким, что оно будет принадлежать А

 

В последнем равенстве отбросим 1-ые к слагаемые

Заменив возможные значения СВ х на число А получим строгое неравенство:

ч.т.д.

Переходя к противоположному событию получаем