Математическое ожидание СВ. Основные свойства.

Мат. ожиданием СВ наз-ся сумма произведений ее возможных значений на соотв-ие вероятности: М_х=М(х)= ; x _i -возможные значения СВ х, p _i -вероятность того, что x=x _i, i = .

Мат. ожидание характ-т средневзвешенную оценку возможных значений СВ, т.е. центр тяжести возм-х значений СВ.

СВОЙСТВА:

1. Мат. ожидание постоянной величины равно постоянной величине: М(с)=с, с-const;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М(к*х)=к*М(х), к-const;

3. Мат. ожидание от алгебраической суммы конечного числа СВ равно алгебраической сумме их мат. ожиданий: М(х у)=М(х) М(у);

4. Если возможное значение СВ Х изменить на постоянную С, то мат. ожидание результата меняется на ту же постоянную С: М(х с)=М(х) с;

5. Мат ожидание произведения конечного числа независимых СВ равно произведению их мат. ожиданий: М(х*у)=М(х)*М(у); Х и У- независимые СВ;

6. М(х*у)=М(х)*М(у)+Кху.

 

Дисперсия СВ. Основные свойства.

Дисперсией СВ наз-ся мат. ожидание квадрата отклонения СВ от ее мат. ожидания: D_х=М((х-М_х)²).

Дисперсия характ-т степень рассеивания возможных значений СВ относительно мат. ожидания.

СВОЙСТВА:

1. D(с)=0, с-const;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя в квадрат: D(к*х)=к²D(х), к-const;

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равно сумме их дисперсий: D(х у)=D(х)+D(у); Х и У- независимые СВ;

4. Если возможные значения СВ меняются на постоянную С, то дисперсия при этом сохраняется: D(х с)=D(х); c-const;

5. D(х)=М(х²)-М²(х);

6. D(х+у)=D(x)+D(y)+2Кxy.

Средним квадратическим отклонением обозначается _х и наз-ся арифметическое значение квадратного корня из дисперсии: _х= .

Типовые законы распределения дискретных СВ. Биномиальный закон распределение.

Дискретная СВ Х с возможными значениями 0,1,2,3,…,n распределена по биномиальному закону, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле: Р(x=m)= p^m(1-p)^n-m.

СВ Х с биномиальным законом распределения - это число экспериментов в серии из n независимых испытаний, в которых событие А наступило.

xi			…	n
pi	q^n	npq^n-1	…	p^n

 

qⁿ+npq^n-1+…+pⁿ=(q+p)ⁿ=1ⁿ=1

Параметрами распределения явл-ся n и p: разное количество экспериментов и разные вероятности.

Многоугольник распределения можно построить для различных значений параметров этого распределения.

Числовые характеристики биномиально распределенной СВ определяются по формулам: M(x)=np, D(x)=npq, _x= .

Частота события определяется по формуле , также величина случайная, распределенная по биномиальному закону. Возможные значения этой СВ 0; ; ;…;1.

P (x= )= p^m(1-p)^n-m; M ()=p; D ()= ; _x= .

 

Типовые законы распределения дискретных СВ. Распределение Пуассона.

Дискретная СВ Х распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0,1,2,…,m,... с вероятностями P(x=m)= *e^-λ, параметром распределения явл-ся λ=n*p.

xi			…	m	…
pi	e^-λ	λ *e^-λ	…	/m!*e^-λ	…

 

e^-λ+ λ *e^-λ +…+ *e^-λ +…= e^-λ(1+ + +…+ +…)=e^-λ* e^-λ=e⁰=1

Многоугольник распределения имеет вид (пример):

Мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, равны и совпадают со значением параметра λ: M(x)=D(x)= λ.

В сфере массового обслуживания с простейшим потоком событий число поступающих заявок - величина случайная с распределением Пуассона.

Поток событий наз-ся простейшим, если он обладает свойствами:

А) ординарности: вероятность поступления более 1 заявки на единичном интервале времени пренебрежительно мала;

Б) стационарности: на равных интервалах времени поступает примерно равное число заявок;

В) отсутствие последействия: число заявок на более позднем интервале времени никак не зависит от числа заявок на более раннем интервале времени.

 

Типовые законы распределения непрерывных СВ. Равномерный закон распределения.

Непрерывная СВ Х распределена по равномерному закону, если плотность распределения ее вероятностей задается функцией f(х)= 0, х (а;в);

, х (а;в).

ТЕОРЕМА

Функция распределения СВ (F(x)= ), распределенной по равномерному закону, опр-ся функцией: F(x)= 0, х а;

, а х в;

1, х в.

Числовые характеристики: М(х)= ; D(х)= .

Числа, выработанные датчиком СВ – это СВ с равномерным законом распределения с параметрами а=0, в=1 по умолчанию.

При условии, что х (0;1), z=а+(в-а)*х, z (а;в).

В играх (рулетка) угол остановки юлы имеет равномерный закон распределения с параметрами а=0, в=2 .