Геометрическое определение вероятности события.

Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

ТВ - раздел математики, занимающийся изучением закономерностей в массовых случайных явлениях. Случайным явлением называют явление, обладающее след. свойствами: неопределенности исхода, возможности воспроизведения, возможности измерения исхода каждого события.

Для изучения случайных явлений используются 2 подхода:

1. Классический (детерменистский): закономерности случайных явлений определяются по основным факторам, чаще всего применяется в естественнонаучных исследованиях. Пренебрежение второстепенными факторами приводит к появлению элемента случайности в исследуемых явлениях.

2. Стохастический: используется в социально-экономических исследованиях, закономерности случайных явлений определяются как по основным, так и по второстепенным факторам. Полный учёт второстепенных факторов практически невозможен, поэтому результаты исследований носят вероятностный характер. К основным факторам относятся факторы, оказывающие сущ-ое влияние на исход испытания. К второстепенным относятся факторы с незнач. влиянием на исход испытания.

Элемент случайности в явлениях снижается: при воспроизведении большего числа второстепенных факторов, с ростом массовых явлений.

Событием называется всякий факт, который может (не)произойти при выполнении определенного комплекса условий (А, В,..., А₁, А₂).

Различают достоверное (событие, которое наступает обязательно при выполнении комплекса условий), невозможное (событие, которое не может наступить при выполнении определенного комплекса условий) и случайное (все остальные события) событие.

Вероятностью события называется численная мера объективной возможности наступления этого события (Р(А), р₁,...).

Свойства вероятности:

вероятность достоверного события равна 1: Р(А)=1;

вероятность невозможного события равна 0: Р(В)=0;

вероятность случайного события определяется: 0<Р(С)<1.

Два события А и В называются несовместными (или), если наступление одного из них исключает наступление другого. События называются совместными (и), если они могут появиться одновременно в одном испытании.

События А₁, А₂,...,А_n называются единственно-возможными, если в результате испытания наступает хотя бы одно из этих событий.

События А₁, А₂,...,А_n образуют полную группу событий, если являются возможно-несовместными и единственно-возможными.

Два события, образующие полную группу называются противоположными.

Под отрицанием события понимают наступление противоположного события: А, .
2. Относительная частота события. Теорема Бернулли.

Вероятности событий, эксперименты по воспроизведению которых не обладают свойством симметрии исходов, определяются по частоте данного события или статистической вероятностью этого события.

Статистической вероятностью события А называется отношение числа экспериментов, в которых событие наступило, к общему числу экспериментов: W(A)=P*(A)=m/n, где n-общее число экспериментов, m-число, в которых наступило событие А.

Статистическая вероятность события - лишь оценка истинного значения вероятности этого события. Её использование возможно при выполнении след. условий:

1. Должны существовать возможности многократного воспроизведения экспериментов на предмет наступления события А при определенных условиях.

2 События должны обладать статистической устойчивостью или устойчивостью относительных частот.

3. Число экспериментов должно быть достаточно велико.

Теорема Бернулли: С ростом числа экспериментов, т.е. при n→¥, относительная частота события сходится по вероятности к истинному значению вероятности этого события: , .

Достоинством частотной схемы определения вероятности является широкий класс решаемых задач.

Недостатками являются: приближенное значение вероятности события; большие моральные, материальные и временные затраты для получения этой оценки.
3. Классическое определение вероятности события. Формулы комбинаторики.

Вероятность события - эксперимент, по воспроизведению которого можно разложить на равновозможные исходы равна: Р(А)=m/n, где n-общее число возможных исходов, m-число исходов, благоприятствующих событию А.

Для нахождения значения m и n используют формулы комбинаторики.

Сочетаниями из n по m называются соединения, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов. Число сочетаний из n по m равно числу способов выбора m элементов из имеющихся n: , где n>m.

Если в сочетаниях выбираемые элементы могут повторяться, то их называют сочетаниями с повторениями: .

Размещениями из n по m называются соединения, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования: .

Если в размещениях элементы могут повторяться, то их называют размещениями с повторениями: .

Перестановками из n элементов называются соединения, состоящие из n элементов, и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов: .

Основные понятия мат.статистики

Аналогом СВ из теории вероятности является признак Х в мат.статистике.

Множество всевозможных значений признака Х, позволяющее оценить параметры распределения, а также само распределение признака Х с исчерпывающей точностью, называют генеральной совокупностью.

Выборкой признака Х называют ограниченный объем стат.данных генеральной совокупности: ; - элементы выборки, n – объем выборки

Отбор выборочных данных из ген.совокупности – акт случайности ⇒ выборку можно рассмотреть как многомерную СВ. Значит, каждый элемент выборки – это СВ.

Закон распределения выборки и её элементов совпадает с законом распределения ген.совокупности, их которых она извлечена.

Основным св-ом выборки является её случайность. Это обеспечивает репрезентативность (представительность) выборки. В противном случае говорят об ошибке – презентативности.

 

Точечная оценка параметров распределения. Требования к функциям выборки.

Функцией выборки называется нек-я ф-ция, переводящая элементы выборки в числовое значение. Функция выборки используется для оценки параметров распределения, границ доверительного интервала и оценки статистики критерия. Т.к.элементы выборки случайны, то число полученное по функции выборки- также величина случайная. Точечной оценкой Qn (с тильдой наверху) параметра распределения Q наз-ся величина, характеризующая истинное значение параметра Q. Для оценки одного и того же параметра распределения можно составить несколько различных функций выборки. Требования: 1.состоятельности -оценка параметра при n стремящимся к бесконечности сходится по вероятности к истинному значению этого параметра. Записывается так и так . 2.несмещенности - мат.ожидание оценок параметров распределения = истинному значению этого параметра. Если это равенство выполняется прия любых n, то это абсолютная несмещенность; а если при n стремящемся к бесконечности то асимптотическая. 3.эффективности - эффективной называют ту функцию выборки (оценку), к-я обладает наименьшей дисперсией. , где в числителе -дисперсия исследуемой оценки, в знаменателе -дисперсия эффективной оценки. Чем ближе коэффициет эффективности e к 1, тем эффективнее исследуемая оценка. Если это условие выполняется при n стремящемся к бесконечности, то это ассимптотическая эффективность.

 

Гистограмма распределения.

Первое, что можно получить из всякой конкретной выборки Х=(х₁,х₂,…,х_n) – это начальное представление о законе распр-я. Осуществляется это путем построения так называемой гистограммы распр-я. Для этого опр-ся диапазон изменения возможных значений исследуемого признака (аналог СВ в ТВ) по имеющейся выборке Х=(х₁,х₂,…,х_n) – от x’=min{x_i} до x”= max{x_i}. Этот диапазон условно подразделяется на М интервалов – так называемых разрядов, или «карманов» гистограммы. Число М выбирается исследователем. Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число М интервалов разбиения M . Если выбрать все разряды одинаковыми по ширине, то ширина разряда будет равняться: h= .

Затем для i-го разряда (i=1,2,…,M) подсчитывается число m_i попавших в него значений СВ. Полученные значения m_i или откладываются в масштабе по вертикали применительно к каждому разряду. Полученная таким образом гистограмма получила название гистограммы распределения признака Х:

На основе гистограммы получаем первичное представление о виде закона распр-я исследуемого признака. При этом выполняются условия: ; .

 

Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

ТВ - раздел математики, занимающийся изучением закономерностей в массовых случайных явлениях. Случайным явлением называют явление, обладающее след. свойствами: неопределенности исхода, возможности воспроизведения, возможности измерения исхода каждого события.

Для изучения случайных явлений используются 2 подхода:

1. Классический (детерменистский): закономерности случайных явлений определяются по основным факторам, чаще всего применяется в естественнонаучных исследованиях. Пренебрежение второстепенными факторами приводит к появлению элемента случайности в исследуемых явлениях.

2. Стохастический: используется в социально-экономических исследованиях, закономерности случайных явлений определяются как по основным, так и по второстепенным факторам. Полный учёт второстепенных факторов практически невозможен, поэтому результаты исследований носят вероятностный характер. К основным факторам относятся факторы, оказывающие сущ-ое влияние на исход испытания. К второстепенным относятся факторы с незнач. влиянием на исход испытания.

Элемент случайности в явлениях снижается: при воспроизведении большего числа второстепенных факторов, с ростом массовых явлений.

Событием называется всякий факт, который может (не)произойти при выполнении определенного комплекса условий (А, В,..., А₁, А₂).

Различают достоверное (событие, которое наступает обязательно при выполнении комплекса условий), невозможное (событие, которое не может наступить при выполнении определенного комплекса условий) и случайное (все остальные события) событие.

Вероятностью события называется численная мера объективной возможности наступления этого события (Р(А), р₁,...).

Свойства вероятности:

вероятность достоверного события равна 1: Р(А)=1;

вероятность невозможного события равна 0: Р(В)=0;

вероятность случайного события определяется: 0<Р(С)<1.

Два события А и В называются несовместными (или), если наступление одного из них исключает наступление другого. События называются совместными (и), если они могут появиться одновременно в одном испытании.

События А₁, А₂,...,А_n называются единственно-возможными, если в результате испытания наступает хотя бы одно из этих событий.

События А₁, А₂,...,А_n образуют полную группу событий, если являются возможно-несовместными и единственно-возможными.

Два события, образующие полную группу называются противоположными.

Под отрицанием события понимают наступление противоположного события: А, .
2. Относительная частота события. Теорема Бернулли.

Вероятности событий, эксперименты по воспроизведению которых не обладают свойством симметрии исходов, определяются по частоте данного события или статистической вероятностью этого события.

Статистической вероятностью события А называется отношение числа экспериментов, в которых событие наступило, к общему числу экспериментов: W(A)=P*(A)=m/n, где n-общее число экспериментов, m-число, в которых наступило событие А.

Статистическая вероятность события - лишь оценка истинного значения вероятности этого события. Её использование возможно при выполнении след. условий:

1. Должны существовать возможности многократного воспроизведения экспериментов на предмет наступления события А при определенных условиях.

2 События должны обладать статистической устойчивостью или устойчивостью относительных частот.

3. Число экспериментов должно быть достаточно велико.

Теорема Бернулли: С ростом числа экспериментов, т.е. при n→¥, относительная частота события сходится по вероятности к истинному значению вероятности этого события: , .

Достоинством частотной схемы определения вероятности является широкий класс решаемых задач.

Недостатками являются: приближенное значение вероятности события; большие моральные, материальные и временные затраты для получения этой оценки.
3. Классическое определение вероятности события. Формулы комбинаторики.

Вероятность события - эксперимент, по воспроизведению которого можно разложить на равновозможные исходы равна: Р(А)=m/n, где n-общее число возможных исходов, m-число исходов, благоприятствующих событию А.

Для нахождения значения m и n используют формулы комбинаторики.

Сочетаниями из n по m называются соединения, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов. Число сочетаний из n по m равно числу способов выбора m элементов из имеющихся n: , где n>m.

Если в сочетаниях выбираемые элементы могут повторяться, то их называют сочетаниями с повторениями: .

Размещениями из n по m называются соединения, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования: .

Если в размещениях элементы могут повторяться, то их называют размещениями с повторениями: .

Перестановками из n элементов называются соединения, состоящие из n элементов, и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов: .

Геометрическое определение вероятности события.

В случаях, когда исходы испытания равняются равновозможными, а их число бесконечным множеством, вероятность некоторых событий можно определить как отношение меры благоприятствующей области к мере области, т.е. P(A)=m(G)/n(S).

В качестве меры областей может выступать длина отрезка, площадь плоской фигуры или объем тела.

Вся область S и благоприятствующая область G должны быть замкнутыми и измеримыми.

Рассмотрим плоскую фигуру S, внутри которой появляется случайная точка. Выделим подобласти S₁ и S₂. Событие A - случайно выбранная точка, окажется внутри заштрихованных областей S₁ и S₂. P(A)=(S₁+S₂)/S.
5. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей.

Два события А и В называются несовместными (или), если наступление одного из них исключает наступление другого. События называются совместными (и), если они могут появиться одновременно в одном испытании.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу событий.

Суммой 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении либо события А, либо события В: С=А+В.

Произведением 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении как события А, так и В: С=A×B.

Под отрицанием события А понимают наступление противоположного ему события: .

Теорема сложения совместных событий: Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B).

□ Пусть n-общее число возможных исходов, из них m способствуют наступлению события А, k благоприятствует событию В, l-число исходов, способствующих совместному наступлению А и В:

Р(А)=m/n, Р(В)=k/n, P(A×B)=l/n, А+В→m+k-l.

Р(А+В)=(m+k-l)/n=m/n+k/n–l/n= P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B)■.

Теорема сложения несовместных событий: Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

□ Т.к. А и B–несовместные события, то A×B–невозможное событие:

P(A×B)=0.

P(A+B)=P(A)+P(B)–0=P(A)+P(B)■.

Следствие 1: Сумма вероятностей событий, образованных полную группу событий=1: Р(А₁, А₂,...,А_n)=1.

□ Т.к. А₁, А₂,...,А_n образуют полную группу событий, то они попарно несовместно и является единственно возможными, тогда А₁, А₂,...,А_n–достоверное событие:

Р(А₁, А₂,...,А_n)= Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1■.

Следствие 2: Вероятность суммы противоположных событий=1: Р(А+ )=Р(А)+Р()=1.
6. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от наступления другого события, в противном случае события независимые (если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого).

Под условной вероятностью события А понимают вероятность этого события, вычисленную при условии, что событие В наступило: Р(А/В), Р_В(А).

Теорема (зависимость события) умножения: Вероятность произведения 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события: P(A×B)=Р(А)×Р(В/А)=Р(В)×Р(А/В).

□ Пусть n-общее число возможных исходов, из них m благоприятствуют событию А, k-событию В, l-одновременно событию А и В:

Р(В/А)=l/m=(l/n)/(m/n)= P(A×B)/Р(А)=> P(A×B)=Р(А)×Р(В/А).

1 из m исходов наступил 1/m (событие А наступило), из этих m исходов l способствуют наступлению события:

Р(А/В)=l/k=(l/n)/(k/n)= P(A×B)/P(B)=> P(A×B)=Р(В)×Р(А/В)■.

Для n зависимых событий теорема умножения вероятностей примет вид:

Р(А₁×А₂×...×А_n)=Р(А₁)×Р(А₂/А₁)×Р(А₃/А₁×А₂)×...×Р(А_n/А₁×А₂×...×А_n-1).

Р(А)=Р(А/В)=> А₁×В -независимые события, Р(А)≠Р(А/В)=> А₁×В -зависимые события.

 

7. Полная группа событий. Формула полной вероятности:

Набор событий H1, H2, …, Hn называется полной группой попарно несовместных событий если:

Пусть мы имеем полную группу несовместных событий H1, H2, …, Hn, определяющих варианты условий, в которых может осуществляться опыт по воспроизведению некоторого события А. Каждой гипотезе будет соответствовать своя условная вероятность события А: P(A/Hi), i=1,2,…,n.

Теорема: Если H1,H2,…,Hn – полная группа попарно несовместных событий, причем P(Hi) 0, i=1,2,…,n,то для любого события А имеет место равенство:

- формула полной вероятности.

 

8. Формула Байеса переоценки вероятностей гипотез. Ее практическое значение.

Одним из самых важных следствий формулы полной вероятности является формула Байеса.

, i=1,2,…,n.

Используя формулу Байеса, мы оцениваем вероятность того, какая из возможных причин в действительности имела место при условии, что событие А произошло.

Вероятности при -априорные вероятности. -апостериорные вероятности. Процесс решения задач по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно представить виде граф.схемы типа дерева, кот имеет одну корневую и несколько корневых вершин, соединенных м/у собой звеньями.

 

9. Формула Бернулли и Пуассона:

Теорема Бернулли: если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pm,n того, то событие А наступит m раз в n независимых испытаниях Бернулли, равна:

, где q=1-p.

Формула Бернулли применяется при сравнительно небольших m и n.

Теорема Пуассона: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремиться к 0 (p->0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n-> )/. Причем произведение np стремится к постоянному числу (), то вероятность того,что событие А появиться m раз n независимых испытаниях удовлетворяет предельному равенству.

Если вероятность p-постоянна и мала, число испытаний n-велико и число , получаем приближенную формулу Пуассона

 

10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа:

Локальная: если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность , того что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна

 

, где и .

Функция f(x)-четная и для x [0;5] существует таблица значений. При x>5 .

Интегральная: если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и1, то вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна:

, где

- функция Лапласа;

, .

Для положительных значений x существует таблицы значений функции Лапласа.

Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа дают незначительную погрешность при

Следствие: если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того что: а) число m наступления события А отличается от произведения np не более, чем на величину e>0 (по абсолютной величине), т.е: ;

б)частота события А заключена в пределах от до (включительно), т.е.

, где ;

в)частота события А отличается от его вероятности p не более, чем на величину D>0(по абсолютной величине),т.е.

 

 

 

11. Способа задания закона распределения дискретных случайных величин. Их свойства:

Случайной называется величина, кот в результате испытания может принимать то или иное, значение заранее неизвестно какое именно.

Различают: дискретные и непрерывные случайные величины. К дискретным относят случайные величины, возможные значения которых изолированы друг от друга и могут быть перечислены до опыта.

Закон распределения ДСВ задается в виде ряда распределения.

Xi	X1	X2	…	Xn
pi	P1	P2	…	pn

 

X, p-соот. им вероятности. Предполагается, что независимые события X=x, i=1,2,…,n образуют полную группу. Следовательно имеет место следующее соотношение

Свойства:

1)F(x) - неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x1<x2 имеет место ;

2) ;

3)

 

12. Способы задания закона распределения непрерывных случайных величин. Их свойства:

Случайной величиной называют непрерывной если ее возможное значение заполняют некоторый интервал в числовой оси.

Законом распределения НСВ наз-ся всякое соотношение устанавливающее связь м/у возможными значениями случайно величины и соответствующим вероятностями.

Ряд распределения – это таблица состоящая из2 строк, в первой из кот. указана возможные значения СВ, во второй соответ. им вероятности.

Xi	X1	X2	…	Xn
pi	P1	P2	…	pn

 

Функцией распределения СВ наз-ся вероятность того что СВ принимает значение меньше текущ.вел-ны X.

Свойства:

1)F(x) - неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x1<x2 имеет место ;

2) ;

3)