Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Определение 17.4. Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) (или A(x)y’+B(x)=C(x)(17.6) называются линейным ДУ.

При этом уравнение: y’+P(x)=0, в котором правая часть тождественно равна нулю, называется линейным однородным, а уравнение 17.6, в котором Q(x)≠0 – линейным неоднородным.

Общее решение уравнения 17.7 имеет вид:

Общее решение неоднородного линейного уравнения, можно найти:

Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа), состоит в том, что сначала находят общее решение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 соответственно линейного однородного уравнения. Затем, варьируя произвольную постоянную,т.е.: полагая и подставляя y в уравнение 17.6 получаем C’(x)* =Q(x). Из последнего уравнения определим С(х): С(х)= . Следовательно общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид: у= ()

Общее решение полученного уравнения имеет вид:

Y= ()

23. Понятие числового ряда. Основные понятия. Определение 19.1 Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂, …, u_n, …, где u_n є k, n є N.

выражение вида

u₁ + u₂ + … + u_n + …= называется числовым рядом. (19.1)

Числа u₁, u₂, …, u_n, …, называются членами ряда (19.1), u_n = f(n) – общим членом ряда (19.1)

Определение 19.2 Сумма первых n членов ряда (19.1) называется n – ой частичной суммой данных ряда и обозначается S_n:

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n = .

Будем иметь

S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, …, S_n = u₁ + u₂ … u₃.

Получим последовательность частичных сумм ряда (19.1):

(S_n): S₁, S₂, …, S_n, … (19.2)

Если последовательность частичных сумм (S_n) (19.2) имеет конечный предел

lim S_n = S, то числовой ряд (19.1) называется сходящимся, а число S называется суммой ряда (19.1):

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n + … или S = .

Если же предел последовательности (S_n) (19.1) не существует или бесконечен, то ряд (19.1) называется расходящимся.

Например, ряд

u + uq + uq2 + … + uq(n-1) + … (|q| < 1), составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и его сумма S = u/(1-q)

 

24. Свойства сходящихся рядов. Приведем несколько важных свойств относительно сходимости рядов.

1) Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд , где k є R, также сходится и его сумма равна kS.

2) Если ряды и сходятся и имеют соответственно суммы S и S’, то сходится и ряд , причем его сумма равна S ± S’.

3) Если сходится ряд , то сходится и ряд полученный из данного ряда отбрасыванием первых k- членов. Ряд называется k-ым остатком ряда и обозначается R_k. Из сходимости k-го остатка ряда следует сходимость исходного ряда.

25. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда. Исследование сходимости ряда является важнейшей задачей теории числовых рядов.

Теорема 19.1(необходимый признак сходимости ряда)

 

Если ряд сходится,то =0(19.3),т.е если ряд сходится,то его общий член стремится к нулю при .

Условие (19.3) не является достаточным,т.е если оно выполняется,то это не означает,что ряд сходится.

Например,ряд назыв. гармоническим, расходится.

При этом необходимое условие сходимости числовых рядов выполняется:

.

Следствием теоремы 19.1 является следующая теорема.

Теорема 19.2 (достаточный признак расходимости ряда).

Если или не существует,то ряд расходится.

 

26. Признаки сравнения для числовых знакоположительных рядов. Теорема 19.3 (Первый признак сравнения).Пусть даны два ряда с положительными членами
_n и _n

Если u_n≤v_n для n≥n_oϵN ряд _nсходится, то сходится и ряд _n,причем его сумма не превосходит суммы ряда _n

Теорема 19.4 (Второй признак сравнения). Даны два знакоположительных ряда _n и _n
Если u_n≥v_n для n≥n_oϵN и ряд _n расходится,то расходится и ряд _n

Теорема 19.5 (Предельный признак сравнения). Даны два знакоположительных ряда _n и _n

Если существуют конечный и отличный от нуля предел >k, то оба ряда _n и _n сходится или расходятся одновременно.

Для сравнения часто используют ряды:

1) q^n-1 │q│<1-cходящийся (геометрическая прогрессия)

2) -ряд Дирихле, сходящийся при λ>1, расходящийся при λ≤1, в случае λ=1 -гармонический

Пример 19.1. Спомощью признаков сравнения исследовать сходимиость данных рядов:

А) - Б) - В)

Решение:

А) Общий член данного ряда

V_n = > =U_n, т.к с увеличением знаменателя дробь уменьшается,но ряд) –гармонический,расходящийся, следовательно, данный ряд тоже расходится (по второму признаку сравнения)

Б)Общий член данного ряда U_n= меньше общего члена сходящегося ряда V_n= (геометрическая прогрессия),т.к , поэтому в соответствии с первым признаком сравнения данный ряд сходится.

В) Беря для сравнения ряд , получим = = = = = 1>0

Т.к ряд сходится, то по предельному признаку сравнения данный ряд сходится

27. Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов. Теорема 19.6. (признак Коши). Если для ряда существуетто =0, при с<1 ряд сходится, а при с>1 ряд расходится.

Если с=1, то признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.В этом случае требуется дополнительное исследование.

Теорема 19.7 (признак Даламбера). Если для ряда существет , то ряд сходится при L<1 и расходится при L>1.

Если L=1, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков.

Теорема 19.8 (интегральный признак).Если при x≥1 функция f(x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то ряд , где u_n=f(n),сходится, если сходится

Несобственный интеграл , u расходится, если данный интеграл расходится.

Пример 19.2.Исследовать на сходимость ряды:

А) Б)

Решение:

А) Воспользуемся признаком Коши. Для данного ряда = = = = * <1, ряд сходится

Б) Воспользуемся признаком Даламбера

Здесь U_n = , поэтому U_n+1 = , поэтому = / = = = >1

Следовательно, = = >1

Данный ряд расходится.

28. Понятие знакочередующегося ряда. Теорема Лейбница.

Определение 19.3 Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки

где

Приведём достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда

Теорема 19.9 (Теорема Лейбница)

Если члены знакочередующегося ряда (19.4) удовлетворяют условиям:

1) для любого

2)

то ряд (19.4) сходится, а его сумма S удовлетворяет условию 0<S<

Определение 19.4 Если ряд

имеет как положительные, так и отрицательные слагаемые, причём расположение положительных и отрицательных членов произвольно, то такой ряд называется знакопеременным

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов

29. Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события(явления) можно подразделить на следующие 3 вида: достоверные,невозможные,случайные.

Достоверными наз.события,которые обязательно произойдут,если будет осуществлена опред. совукупность условий S.

Невозможным наз. события,заведомо не произойдет,если будет осуществлена совокупность S.

Случайным назыв события,которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти,либо не произойти.

Например,если брошена монета,то она может упасть так,сто сверху будет либо герб,либо надпись.Поэтому событие «при бросании монеты-выпал герб» случайное.

Каждое случайное событие,в частности выпадение «герба»,есть следствие действия очень многих случайный причин(например,сила с которой брошена монета,форма монеты)

Однако учитывать влияние всех причин на появление события невозможно,т.к. число их достаточно велико и законы их действия неизвестно.

Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать произойдет единственное событие или нет.

Иначе обстоит дело,если рассматривается случайные события,которые могут многократно происходить при осуществлении одних и тех же условий S,т.е если речь идет о массовых однородных случайных событиях.

Оказывается,что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняют определенным закономерностям.

Установлением этих закономерностей занимается ТВ таким образом, предметом ТВ является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей,которые подчиняются массовым случайностям события,позволяет предвидеть,как эти события будут протекать.

Например,если нельзя определить наперед результат 1-го бросания монет,то можно предсказать,причем с небольшой погрешностью,число появлений «герба»,если монета будет брошена достаточно большое кол-во раз.

При этом предполагается,что монету бросают в одних и тех же условиях.

Методы ТВ широко применяются в различных отраслях естествознания,техники,экономики,а также служат для обоснования математической и прикладной статистики,потом в свою очередь используестся при планировании и организации про-ва,при анализе технологических процессов.

 

30. Виды случайных событий. В дальнейшем,вместо того,чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена»,будем говорить: «произведено испытание»,а событие будем рассматривать как результат испытания.

Пример 20.1

а)Стрелок стреляет по мишени,разделенной на 4 области.Выстрел-это испытание.Попадание в опред.область мишени-событие.

б)В урне имеются цв.шары.Из урны наудачу берут один шар.Извлеченный шар из урны-испытание.Появление шара определенного цвета-событие.

События назыв. несовместными если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании.

События назыв. единственно возможными,если в результате испытания наступление хотя бы одного из них есть достоверное событие.

Совокупность единственно возможных и несовместных событий испытания образуют полную группу событий.

События назыв. равновозможными,если есть основание считать,что ни одно из них не является более возможным,чем другое.

Пример 20.2

а)Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь.Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали.События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» -несовместны.

б)Стрелок произвел выстрел по цели.Обязательно произойдет одно из двух следующих событий:попадание или промах.Эти 2 события несовместны и образуют полную группу событий.

в)Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты-равновозможные события,т.к предполагается,что монета изготовлена из однородного материала,имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.