Вставка 2.6. Терминология принятия (отклонения) гипотезы

В этом подразделе было показано, что следует отклонить нулевую гипотезу, если t-статистика больше, чем t_крит, или меньше, чем - t_крит, и не следует отклонять эту гипотезу, если t-статистика находится между t и t _крит. Почему «не отклонять», к чему это усложнение? Не было бы проще сказать, что вы прини­маете гипотезу, если абсолютная величина t -статистики меньше, чем t_крит.

Аргументом против использования "термина «принять» является то, что вы способны «принять» несколько взаимоисключающих гипотез в одно и то же время. Так, в примере с зависимостью между общей инфляцией и инфляцией. вызванной ростом заработной платы, вй не могли бы отклонить нулевую гипо­тезуH₀: β ₂ = 0,9 или нулевую гипотезу H₀: β ₂ = 0,8. Логично утверждать, что вы не отклоняете эти нулевые гипотезы, а также нулевую гипотезу H_Q; β ₂ = 1, рас­смотренную выше, но практически бессмысленно заявлять, что вы одновре­менно принимаете все три гипотезы. В следующем подразделе вы увидите, что можно определить целый ряд гипотез, которые не могут быть отклонены в ре­зультате данного эксперимента, поэтому было бы неосторожно выбрать одну из них как «принятую».

Тесты с уровнем значимости 0,1%

Если значение t-статистики очень велико, то следует проверить, отвергает­ся ли нулевая гипотеза при уровне значимости 0,1%. Если возможно, следует представить результат такого теста, поскольку он дает возможность отвергнуть нулевую гипотезу с минимальным риском допущения ошибки I рода.

Доверительные интервалы

До сих пор мы предполагали, что гипотеза предшествует эмпирическим исследованиям. Однако это необязательно. Очень часто теория и эксперимент взаимодействуют, в этом отношении типичным примером является регрессия для функции заработка. Вначале мы оцениваем регрессию, потому что в соответствии с экономической теорией ожидаем, что продолжительность полученного образования влияет на заработок. Результат оценивания регрессии подтвердил это интуитивное ожидание в том смысле, что мы отвергли нулевую гипотезу β ₂ = 0, но после этого возникло ощущение некоторой пустоты поскольку наша теория неспособна выдвинуть предположение о том, что значение (β ₂ равняется некоторому конкретному числу. Теперь, однако, мы можем двинуться в противоположном направлении и задаться вопросом о том, какие гипотезы совместимы с результатом оценивания нашей регрессии.

 

Вполне очевидно, что гипотеза о том, что β ₂ = 2,455, будет совместимой, так как гипотеза и результаты эксперимента совпадают. Кроме того, совмес­тимыми будут и гипотезы о том, что β ₂ = 2,454 и β₂ = 2,456, так как разница между гипотезой и результатом эксперимента будет небольшой. Вопрос со­стоит в том, насколько сильно гипотетическое значение может отличаться от результата эксперимента, прежде чем они станут несовместимыми и мы долж­ны будем отклонить нулевую гипотезу.

Мы можем ответить на этот вопрос, используя предшествующие рассужде­ния. Из уравнения (2.72) мы можем видеть, что коэффициент регрессии b₂ и гипотетическое значение β₂ будут несовместимыми, если выполняются усло­вия

или (2.76)

т.е. если

или (2.77)

что соответствует

или (2.78)

Отсюда следует, что гипотетическое значение β₂ является совместимым с результатом оценивания регрессии, если одновременно выполнены условия

и (2.79)

т.е. если величина β₂ удовлетворяет двойному неравенству

(2.80)

Любое гипотетическое значение для β₂, которое удовлетворяет соотноше­нию (2.80), будет автоматически совместимо с оценкой b ₂, иными словами, не будет опровергаться ею. Множество всех этих значений, определенных как интервал между нижней и верхней границами неравенства, известно как дове­рительный интервал для величины β₂.

Отметим, что границы доверительного интервала одинаково отстоят от b ₂. Отметим также, что так как значение t_крит зависит от выбора уровня значимо­сти, границы будут также зависеть от этого выбора. Если принимается 5%-ный уровень значимости, то соответствующий доверительный интервал известен как 95%-ный интервал. Если выбирается 1%-ный уровень, то можно получить доверительный интервал с 99% и т.д. Так как t _крит будет больше для 1%-ного уровня, чем для 5%-ного (при любом данном числе степеней свободы), то, следовательно, интервал в 99% будет шире интервала в 95%. Он включает все гипотетические значения для β₂ в 95%-ном доверительном интервале, а также дополнительные промежутки с той и с другой стороны.

 

 

Вставка 2.7. Вторая интерпретаций доверительного интервала

Когда вы строите доверительный интервал, числа, которые вы определяете в качестве его верхнего и нижнего пределов, содержат случайные составляющие, которые зависят от значений случайного члена в наблюдениях выборки. На­пример, неравенство (2.80) включает верхний предел

Как b₂, так и с.о.(b₂) частично определяются значениями случайного члена. Мы надеемся, что доверительный интервал будет включать истинное значение параметра, но иногда он будет так искажен случайными факторами, что это будет не так.

Какова же вероятность того, что доверительный интервал будет включать истинное значение параметра? Легко показать, используя элементарную теорию вероятности, что в случае 95%-ного доверительного интервала данная ве­роятность составляет 95% при условии, что модель правильно определена и что предпосылки, перечисленные в разделе 2.2 выполнены. Аналогичным образом, в случае 99%-ного доверительного интервала данная вероятность составляет 99%.

Оцененный коэффициент (например, b₂ в неравенстве (2.80)) обеспечивает точечную оценку рассматриваемого параметра, но при этом вероятность того, что истинное значение будет в точности равно этой оценке, ничтожно мала. До­верительный интервал дает так называемую «интервальную оценку» параметра, т.е. диапазон значений, который будет включать истинное значение с высокой > заранее определенной вероятностью. Именно эта интерпретация и дает назва­ние доверительному интервалу. (Более подробно этот вопрос рассматривается в работе Т. Уоннакотга и Р. Уоннакотта (Wannacott, Wannacott, 1990), гл. 8.)

 

 

Пример

В распечатке для функции заработка, представленной в табл. 2.6, коэффи­циент при переменной S составил 2,455, его стандартная ошибка равнялась 0,232, а критическое значение t при 5%-ном уровне значимости — примерно 1,965. Отсюда соответствующий 95%-ный доверительный интервал составляет

(2.81)

Иными словами,

1,999 < < 2,911. (2.82)

Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 1,999 и ниже 2,911. Любые гипотетические значения внутри этих пределов не будут опровергаться полученным результатом регрессии. Доверительный интервал показан в последнем столбце распечатки программы Stata. Это, однако, не яв­ляется стандартным свойством регрессионных пакетов, и обычно приходится рассчитывать интервал самостоятельно.

Односторонние t-критерии

В нашем обсуждении t-критериев мы начали с нулевой гипотезы Н₀: и провели проверку возможности ее отклонения при коэффициенте регрес­сии, равном b₂. Если бы мы отклонили эту гипотезу, то косвенно приняли бы альтернативную гипотезу Н₁: . До сих пор альтернативная гипотеза была лишь простым отрицанием нулевой гипотезы. Если, однако, мы можем сформулировать альтернативную гипотезу более конкретно, то мы должны и усовершенствовать процедуру проверки. Проведем исследование трех случа­ев: первый случай — весьма частный, когда существует единственное альтер­нативное истинное значение ₂, которое мы обозначим ; второй случай — если ₂ не равно , то оно должно быть больше ₂; и третий случай — если величина ₂ не равна , то она должна быть меньше .

H₀: , H₁:

В этом случае по каким-то причинам существуют только два возможных истинных значения коэффициента при X, равных и . Для определенно­сти допустим, что больше, чем .

Предположим, что мы хотим проверить гипотезу Н₀ при 5%-ном уровне значимости и используем для этого обычную процедуру, которая уже рассмат­ривалась в этой главе. Мы находим границы для верхнего и нижнего 2,5%-ных «хвостов» t-распределения, считая, что Н₀ верна, обозначив их как А и В на рис. 2.10, и гипотеза H₀ отклоняется, если коэффициент регрессии b₂ оказыва­ется левее точки А или правее точки В. Далее, если значение b₂ находится справа от 5, то оно намного лучше совместимо с гипотезой H₁ чем с гипоте­зой H₀; вероятность его нахождения справа от В, если истинна H₁ намного больше, чем при истинности гипотезы H₀. Здесь у нас не должно быть сомне­ний в том, чтобы отклонить гипотезу Н₀. Следовательно, мы делаем вывод, что гипотеза H₁ верна.

Если, однако, b₂ находится слева от А, то используемая процедура провер­ки приведет нас к неверному заключению. Последняя требует отклонить ги­потезу H₀ и, следовательно, принять гипотезу H₁ несмотря на то, что при ис­тинности гипотезы Н₁ вероятность нахождения b₂ слева от А ничтожно мала. Мы даже не построили график функции плотности вероятности, соответству­ющей гипотезе Н₁. Если такое значение b₂ получается только раз на миллион случаев при истинности H₁ но в 2,5% случаев при истинности H₀, то здесь намного логичнее считать, что истинной является гипотеза Н₀. Конечно, в од-

Рисунок 2.10. Распределение величины b₂ в соответствии с гипотезами Н₀ и Н ₁

ном случае на миллион вы сделаете ошибку, но в остальных случаях вы будете правы. Следовательно, мы будем отклонять H₀, только если b₂ оказывается на верхнем 2,5%-ном «хвосте» распределения, т.е. справа от В. Это означает, что теперь мы выполняем проверку гипотезы с односторонним критерием, сокра­тив в результате вероятность допустить ошибку I рода до 2,5%. Поскольку уро­вень значимости определен как вероятность допустить ошибку I рода, то он теперь также составляет 2,5%.

Как уже отмечалось, экономисты обычно предпочитают проверку гипотез с 5%- и 1%-ным уровнями значимости проверкам с 2,5%-ным уровнем значи­мости. Если вы хотите провести проверку с 5%-ным уровнем значимости, то вы должны переместить точку В влево так, чтобы получить 5% вероятности в «хвосте» распределения и увеличить вероятность допустить ошибку I рода до 5%.

(Вопрос: Почему намеренно выбирается увеличение вероятности допустить ошибку I рода? Ответ: потому что одновременно сокращается вероятность допустить ошибку II рода, т.е. вероятность того, что нулевая гипотеза не будет отклонена, когда она является ложной. В большинстве случаев нулевая гипо­теза состоит в том, что соответствующий коэффициент равен нулю, и вы пы­таетесь опровергнуть это, показав, что рассматриваемая переменная действи­тельно имеет влияние. В такой ситуации при выборе одностороннего крите­рия вы уменьшаете риск не отвергнуть ложную нулевую гипотезу, в то время как вероятность ошибки I рода сохраняется на 5%-ном уровне.)

Если стандартное отклонение величины b₂ известно (что практически ма­ловероятно), а распределение нормально, то точка В будет находиться в z стан­дартных отклонениях вправо от , где z определяется из соотношения A(z) = 0,9500 по табл. А.1. Соответствующее значение для z равно 1,64. Если стандартное отклонение неизвестно и оценивается как стандартная ошибка величины b₂ то мы должны использовать t-распределение; можно найти кри­тическое значение для t по табл. А.2 для соответствующего количества степе­ней свободы в колонке, относящейся к 5%.

Аналогично, если вы хотите выполнить проверку с уровнем значимости 1%, то вы перемещаете В вправо до той точки, где «хвост» распределения со-

 

держит 1% вероятности. Если вам пришлось вычислить стандартную ошибку величины b₂ на основе выборочных данных, то нужно найти критическое зна­чение для t вколонке, соответствующей 1%.

В проведенном обсуждении мы допустили, что больше, чем . Очевид­но, что если оно будет меньше , то можно использовать ту же самую логику для проведения односторонней проверки, выбрав левый «хвост» распределе­ния в качестве критической области гипотезы H₀ и отбросив правый «хвост».

Мощность критерия

В данном конкретном случае мы можем вычислить вероятность допустить ошибку II рода, т.е. принять ложную гипотезу. Предположим, что мы приняли ложную гипотезу H₀: = и что на самом деле верна альтернативная гипо­теза Н₁: = . Если мы используем двусторонний критерий, то мы не смо­жем отвергнуть гипотезу H₀, если b ₂ находится в интервале АВ на рис. 2.11. Так как гипотеза Н₁ верна, то вероятность того, что b₂ будет слева от B, описывает­ся областью под кривой для Н₁ слева от В (более светлая заштрихованная область). Если эту вероятность обозначить γ, то мощность критерия, определен­ная как вероятность недопущения ошибки II рода, составляет (1 - γ). Очевид­но. необходим компромисс между мощностью критерия и уровнем значимости. Чем выше уровень значимости, тем дальше вправо будет сдвинута точка B, тем больше будет γ и тем меньше будет мощность критерия.

Используя односторонний критерий вместо двустороннего, можно полу­чить большую мощность для любого уровня значимости. Как мы уже видели, при переходе к одностороннему критерию с 5%-ным уровнем значимости точка В на рисунке сдвигается влево и, тем самым, снижается вероятность принятия гипотезы H₀, если она ложна.

H₀: , H₁:

 

Мы рассмотрели случай, когда альтернативная гипотеза включала конк­ретное гипотетическое значение (при больше ). Вполне понятно, что логика, которая привела нас к использованию одностороннего критерия, применима и в более общем случае, когда Н₁ выражается в виде , без указания какого-либо конкретного значения.

Рисунок 2.11. Вероятность не отвергнуть гипотезу Н₀, если она ложна (двусторонний тест)

113

 

 

Мы по-прежнему хотели бы исключить левый «хвост» распределения изобласти непринятия гипотезы, так как низкое значение для b₂ более вероятно получить при гипотезе H₀: , чем при гипотезе H₁: , а следовательно, это будет свидетельствовать в пользу гипотезы H₀, а не против нее.Поэтому мы вновь предпочтем односторонний критерий проверки гипотезы двустороннему, рассматривая правый «хвост» распределения как область непринятия гипотезы. Отметим, что, так как не определено, у нас теперь нет возможности вычислить мощность такого критерия. Мы, тем не менее, можем быть уверены, что мощность одностороннего критерия будет больше, чем у соответствующего двустороннего критерия.

H₀: , H₁:

 

Аналогичным образом, если альтернативная гипотеза имеет вид Н₁: то мы предпочтем проверку, основанную на одностороннем критерии, ис­пользующем левый «хвост» распределения в качестве области отклонения гипотезы.