Свойства предсказаний, полученных с помощью МНК

В последующих рассуждениях мы сосредоточимся в основном на пред­сказаниях, а не на прогнозах, и обсудим свойства коэффициентов уравнения регрессии и свойства случайного члена, а не переменной X в случае, когда ее значения неизвестны. И в этом есть положительные моменты. Если значение Y_T+p порождается тем же процессом, что и выборочные значения переменной Y (т.е. в соответствии с уравнением (11.50), где u_T+p удовлетворяет предпосылкам регрессионной модели, и если мы строим наше пред­сказание Y_T+p с помощью уравнения (11.52), то ошибка предсказания f_T+p будет иметь нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию. Первое свойство легко продемонстрировать:­

(11.56)

 

поскольку Е(b₁) = β₁, Е(b₂)= β₂ и Е(и_T+р) = 0. Мы не будем доказывать свой­ство минимума дисперсии. Доказательство можно найти у Дж. Джонстона и Дж. Динардо (Jonston, Dinardo. 1997). Оба эти свойства сохраняются и для общего случая множественного регрессионного анализа.

В случае уравнения парной регрессии теоретическая дисперсия f_T+p опре­деляется как

(11.57)

где и – соответственно выборочное среднее значение и сумма квадратов отклонений переменной X. Из формулы следует, и это неудиви­тельно, что чем больше значение X отклоняется от выборочного среднего, тем больше теоретическая дисперсия ошибки предсказания. Из формулы так же следует, и это вновь неудивительно, что чем больше объем выборки, тем меньше теоретическая дисперсия ошибки предсказания с нижним пре­делом, равным . С ростом объема выборки оценки b₁, и b₂ стремятся к ис­тинным значениям соответствующих коэффициентов (в случае выполне­ния предпосылок модели), и единственным источником ошибки при пред­сказании будет случайный член u_T+р, а он по определению имеет дисперсию .

Доверительные интервалы для предсказаний

Мы можем получить значение стандартного отклонения для ошибки предсказания, если заменим в уравнении (11.57) на и извлечем квад­ратный корень. Тогда отношение величины (Y_T+p - ) к стандартной ошибке при оценивании уравнения для периода выборки будет подчинять­ся t-распределению с числом степеней свободы (Т- к). Отсюда мы можем получить доверительный интервал для действительного значения Y_T+p:

(11.58)

где t_крит — критическое значение t при заданных уровне значимости и числе степеней свободе, а с.о. — стандартная ошибка предсказания. На рис. 11.3 в общем виде показано соотношение между доверительным интервалом для предсказания и значением объясняющей переменной.

В уравнении множественной регрессии выражение, соответствующее (11.57), имеет гораздо более сложный вид, и оно лучше может быть представлено с помощью аппарата матричной алгебры. К счастью, имеется простой прием, который можно использовать для расчета значений стан­дартных ошибок при помощи компьютера. Обозначим период выборки как 1,..., Т, а период предсказания как T+1,..., T+Р. Вы оцениваете уравнение регрессии на выборке, совмещающей выборочный и прогнозный периоды, добавив (различные) фиктивные переменные для каждого из наблюдений периода предсказания. Это означает включение в модель набора фиктив­ных переменных D_T+1, D_{T +2},..., D_T+p где значение D_T+p, равно нулю для всех наблюдений, кроме наблюдения Т + р, для которого оно равно единице. Как может быть показано, оценки коэффициентов при нефиктивных пере­менных и их стандартные отклонения будут в точности такими же, как и в уравнении регрессии, оцененном только на периоде выборки (см. работы Д. Салкевера (Salkever, 1976) и Ж.-М. Дюфора (Dufour, 1980)). Компьютер использует фиктивные переменные для получения точного соответствия в каждом наблюдении периода предсказания, и он делает это путем прирав­нивания коэффициента при фиктивной переменной к ошибке предсказа­ния, определенной выше. Стандартная ошибка этого коэффициента равна стандартной ошибке предсказания.

Пример

В табл. 11.7 представлены результаты оценивания логарифмической ре­грессии расходов на жилье на показатели дохода и относительных цен,

Таблица 11.7

Dependent Variable LGHOUS

Method: Least Squares

Sample: 1959 2003

Included observations 45

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
С	-0.298460	0.194922	-1.531173	0.1340
LGDPI	1.036576	0.006497	159. 5366	0.0000
LGPRHOUS	-0.423765	0.045451	-9.323628	0.0000
D00	-0.041629	0.017210	-2.418867	0.0205
D01	-0.027473	0.017436	-1.575655	0.1234
D02	-0.022256	0.017788	-1.251167	0.2185
D03	-0.030428	0.017893	-1.700556	0.0072
R-squared	0. 998852		Mean dependent var	6. 359334
Adjusted R-squared	0.998670		S.D. dependent var	0.437527
S.E of regression	0. 015955		Akaike info enter	-5.296084
Sum squared resid	0. 0096 73		Schwarz criterion	-5.015048
Log likelihood	12 6.1619		F-statistic	5508. 485
Durbin-Watson stat	0 802456		Prob(F-statistic)	0.000000

 

с фиктивными переменными D00—D03 для 2000—2003 гг. Коэффициенты при фиктивных переменных показывают ошибки предсказания, указанные в табл. 11.6. Предсказанный логарифм расходов на жилье в 2000 г в табл. 11.6 равняется 6,956. Из распечатки регрессии видно, что стандартная ошибка предсказания для этого года составляет 0,017. Для 38 степеней свободы кри­тическое значение t-статистики при 5%-ном уровне значимости равно 2,024, и мы получаем следующий 95%-ный доверительный интервал пред­сказания для данного года:

6,956 - 2,024 х 0,017 < Y< 6,956 + 2,024 х 0,017, (11.59)

то есть

6,922 < Y< 6,990. (11.60)

Доверительный интервал не включает фактическое значение (6,914), и, таким образом, по крайней мере, для этого года предсказание оказалось не­удовлетворительным. Очевидное объяснение этому состоит в том, что мы использовали очень простую статическую модель для оценки расходов на жилье. Как мы убедимся в следующей главе, динамическая модель является более предпочтительной.

Тесты на устойчивость

Тесты на устойчивость для регрессионной модели предназначены для оценки того, насколько поведение модели в послевыборочном периоде сравнимо с ее повелением в период выборки, на которой она была получе­на. В основании организации тестов на устойчивость могут лежать два принципа. Первый подход — сосредоточиться на предсказательной способ­ности модели, второй подход — оценить, происходит ли сдвиг параметров в период предсказания.