Формулирование нулевой гипотезы

Начнем с допущения о том, что теория предшествует эксперименту и что вы уже имеете в виду некоторую гипотетическую связь или зависимость. На­пример, вы можете считать, что темп общей инфляции в экономике (p, в %) зависит от темпа инфляции, вызванной ростом заработной платы (w, в %), и что эта зависимость описывается линейным уравнением:

(2.61)

где p₁ и р₂ — параметры, а u — случайный член. Далее вы можете построить гипотезу о том, что без учета эффектов, вносимых случайным членом, общая инфляция увеличивается в той же степени, что и инфляция, вызванная ростом заработной платы. В этих условиях вы можете сказать, что гипотеза, кото­рую вы собираетесь проверять, известная как ваша нулевая гипотеза и обозна­ченная H₀, состоит в том, что β₂ равняется единице. Мы также определяем альтернативную гипотезу, обозначаемую Н₁, которая представляет заключение. которое делается в том случае, если экспериментальная проверка указала на ложность H₀. В данном случае эта гипотеза состоит в том, что . Две гипо­тезы сформулированы с использованием следующих обозначений:

H₀:β₂=1;

H_1:β₂≠1.

В этом конкретном случае, если мы действительно считаем, что общая ин­фляция равна инфляции, вызванной ростом заработной платы, мы делаем по­пытку защитить нулевую гипотезу H₀, подвергнув ее максимально строгой проверке и надеясь, что она не будет опровергнута. Однако на практике более обычным является построение нулевой гипотезы, которая затем будет прове­ряться с помощью альтернативной гипотезы, которая предполагается верной Например, рассмотрим простую функцию заработка:

(2.62)

где EARNINGS — часовой заработок в долларах, a S — число законченных лет обучения. Исходя из вполне разумных теоретических оснований, вы предпо­лагаете, что заработок зависит от продолжительности обучения, но ваша тео­рия недостаточно «сильна», чтобы можно было определить конкретное значе­ние для β₂. Тем не менее, вы можете установить наличие зависимости величи­ны заработка от S, используя для этого обратную процедуру, когда в качестве нулевой гипотезы принимается утверждение о том, что величина заработка не зависит от S, т.е. что β₂ равняется нулю. Альтернативная гипотеза заключается в том, что величина β₂ не равняется нулю, иными словами, что величина S влияет на размер заработка. Если вы можете отвергнуть нулевую гипотезу, то вы таким образом устанавливаете наличие зависимости, по крайней мере вобщих чертах. С использованием введенной системы обозначений, ваши нулевая и альтернативная гипотезы примут вид H₀: β₂ = 0 и Н₁: β₂ ≠ 0 соответ­ственно.

Последующий анализ касается модели парной регрессии

(2.65)

Он будет относиться только к коэффициенту наклона β₂, но точно такие ж с процедуры применимы и к постоянному члену β₁ Возьмем общий случай, вкотором в нулевой гипотезе утверждается, что β₂ равно некоторому конкрет­ному значению, например , и альтернативная гипотеза состоит в том, что β₂ не равно этому значению (H₀: β₂ = ,; Н₁: β₂ ≠ ). Вы можете предпринять попытку отклонить или подтвердить нулевую гипотезу, в зависимости от того что вам необходимо в данном случае. Будем считать, что предпосылки в разде­ле 2.2 выполнены.

Вывод следствии гипотезы

Если гипотеза H₀ верна, то значения b₂, полученные в ходе регрессионного анализа, будут иметь распределение с математическим ожиданием и дис-

Персией . Теперь мы вводим допущение, что случайный член и

имеет нормальное распределение. Если это так, то величина b₂ будет также нормально распределена, как показано на рис. 2.6. Сокращение «sd» на ри­сунке соответствует величине стандартного отклонения оценки b₂ т.е.

. Учитывая структуру нормального распределения, боль­шинство оценок параметра b₂ будет находиться в пределах двух стандартных отклонений от (если гипотеза H₀: β₂ = верна).

Сначала мы допустим, что знаем величину стандартного отклонения вели­чины b₂. Это наиболее нереалистичное допущение, и мы позднее отбросим его. На практике же значение этого отклонения (так же, как и неизвестные значе­ния параметров (β₁ и β₂) подлежит оценке. Можно, тем не менее, упростить об­суждение, предположив, что точное значение отклонения известно, и, следова­тельно, у нас есть возможность построить график, показанный на рис. 2.6.

Проиллюстрируем это на примере модели связи общей инфляции и инф­ляции, вызванной ростом заработной платы (2.61). Предположим, что неко­торым образом мы знаем, что стандартное отклонение величины b₂ составляет 0,1. Тогда, если нулевая гипотеза H₀: β ₂ = 1 верна, то оценки коэффициентов регрессии будут распределены так, как это показано на рис. 2.7. Из этого ри­сунка можно видеть, что при справедливости нулевой гипотезы оценки будут находиться приблизительно между 0,8 и 1,2.