Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.

Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.

Опр F(x) – первообр для f(x) на некот промежутке, если на этом промеж F(x) – дифф и F’(x)=f(x)

Св-ва первообр:

1)Если F(x) – первообр для f, то F(x)+C – также первообр

2)Если F(x) – первообр для f, x?X, то любая др первообр для f на том же промеж будет F(x)+C

3)Разность между V 2мя первообр для f(x) на промеж = С

Опр Неопр инт-л от f на некот промеж наз-ся мн-во всех первообр для f на этом промеж, и обозн , где F(x) – любая первообр для f, C=const

Св-ва неопр инт-ла:

1)

2)

3)

 

2.Таблица основных интегралов

1)∫A(x)dx=Ax+C; 2)∫x^αdx=((x^α+1)/(α+1))+C; 3)∫dx/x=ln|x|+C; 4)∫a^xdx=a^x/lna; 5)∫sinxdx=-cosx+C; 6)∫cosxdx=sinx+C; 7)∫dx/cos²x=tgx+C; 8)∫dx/sin²x=-ctgx+C; 9)∫shxdx=chx+C; 10)∫chxdx=shxdx+C; 11)∫dx/ch²x=thx+C; 12) ∫dx/sh²x=-cthx+C; 13)∫dx/(x²+1)=arctgx+C; 14)∫dx/(x²-a²)=(1/2a)*ln|(x-a)/(x+a)|;

Методы разложения и внесения под знак дифференциала.

Метод разложения

Интеграл от лин комбин конечного числа инт ф-ий равен той же комбинации инт-лов от инт ф-ий

Const множитель можно выносить за знак диф-ла

Метов внесения под знак диф-ла

 

Замена переменной в неопределённом интеграле.

Т. Пусть x?[a;b] и отобр – диф-ема и биективна. Тогда , где

 

5.Метод интегрирования по частям.

Разложение рациональной функции на простые дроби.

Первообразная любой рац ф-ии выражается через рац ф-ии, а также ln и arctg. Рац часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен Q(x), только с кратностями, на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение Q(x).

Интегрирование рациональных функций.

, где

Первообразная любой рациональой функции выражается через рациональные функции, а также трнсцендентные функции и .

Метод Остроградского

метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби, знаменатель которой — многочлен степени n с кратными корнями, а числитель — многочлен степени m n-1. Согласно этому методу, , где многочлены Q₁, Q₂, P₁, P₂ имеют степени соответственно n₁, n₂, m₁, m₂, такие что n₁ + n₂ = n, m₁ n₁ — 1, m₂ n₂ — 1 и многочлен Q₂(x) не имеет кратных корней. Таким образом, Q₁(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q(x) и , следовательно, его можно найти, используя алгоритм Евклида. Из этого равенства, дифференцируя, получаем тождество, которое позволяет найти явное выражение многочленов P₁(x) и P₂(x).

 

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

a) :

б) или где – рациональная функция:

в) или

или : и

 

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Если , то , , y=t.

Подстановки Эйлера

1) a>0:

2) c>0:

3) a<0, c<0, D>0, x1<x<x2:

Выделение алгебраической части интеграла

Ф-ия наз алгебраической, если в D(f) она обладает тождеству вида:p_k(x)[f(x)]^k+ p_k-1(x)[f(x)]^k-1+…+ p₁(x)f(x)+ p₀(x)=0, где n>=1, nєZ, p_k, p_k-1,…,p₀,-некоторые многочлены, P_k(x)≠0.

Подинтегральную ф-ию алгебр преобраз всегда можно представить в виде суммы:R₁(x)/ +R₂(x), где R₁(x), R₂(x) –рац ф-ии.∫ R(x, ) можно привести к инт-лу вида: ∫R₁(x)/ dx. Разложив рац R₁(x) на сумму многочленов p_r(x) элем-ных дробей приходим к инт-лам след 3х видов:а)∫P_r(x)/ dx; б)∫1/((x-α)^k )dx, kєN; в)(Mx+N)/((x²+px+q)^m )dx, mєN.

 

Интегрирование дифференциальных биномов

1) p?Z Привести m и n к общ знаменателю λ(m=m’/ λ, n=n’/ λ)

Это инт-л от др-лин иррац => далее t=

2) (m +1)/n? Z

, λ – знаменатель p.

3) p+(m+1)/n? Z . λ – знаменатель p.

 

Понятие определённого интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости.

Опр Ф-ия f:[a;b]->R наз-ся инт-ой в смысле Римана на отрезке [a;b], если сущ конечный предел I интегральных сумм при , т.е. . Этот предел наз-ся инт-лом Римана для f на [a;b] и обозн

Условие: Если функция интегрируется в смысле Римана на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. НО не всякая ф-ия, ограниченная на отрезке, интегрируема на нем в смысле Римана.

 

Суммы Дарбу и их св-ва

Опр Нижней и верхней суммами Дарбу ф-ии f[a;b]->R, построенные для разбиения Т называются соответственно суммы

Св-ва:

1)

2) При измельчении разбиения Т нижняя сумма только увеличивается, верхняя – только уменьшается

3) Нижняя сумма не превосходит верхней, даже если они построены для разных разбиений

4) (эти числа – верхн и нижн инт-лы от f[a;b]->R)

Критерий Дарбу.

Для интегрируемости ограниченной f[a;b]->R в смысле Римана на отрезке [a;b] ó чтобы выполнялось условие или что тоже самое где - колебание функции на отрезке

Понятие о критерии Лебега.

Опр. Покрытие мн-ва Е – семейство мн-ва , что EcV, т.е.

Опр. Мн-во счётное, если можно установить взаимооднознач соотношение между его элементами

Опр. Мн-во ЕcR имеет лебегову меру ноль, если такое покрытие мн-ва Е с конечным или счётным семейством интервалов, что сумма длин любого кол-ва интервалов

Т. Для того, чтобы огр ф-ия f:[a;b]->R была инт-ма в смысле Римана ó чтобы мн-во всех её точек имело лебегову меру ноль.

Сл-вие Ф-ия, имеющая на отрезке конечное мн-во точек разрыва инт-ма в смысле Римана на это отрезке

Сл-вие Изменение значений ф-ии f:[a;b]->R на конечном мн-ве точек не влияет ни на инт-ость ф-ии, ни на величину

 

Аддитивность инт-ла Римама

Т(аддитивность) Если f by-на на [a;b], то она инт-на на [a;c] и [c;b]:

 

Формула Ньютона-Лейбница

Т. Если f:[a,b]->R интегрирована на [a,b] и на этом отрезке сущ первообразная F ф-ии f, то справедливо равенство:

Существование первообразных

Т. Непрерывн на отр-ке ф-ия имеет первообразную на этом отр-ке.

Т. Пусть ф-ия f(x) инт-ма на [a;b], тогда инт-л с перемен верх пределом F(x)= явл ф-ей непрер на [a;b]

 

Квадрируемые фигуры

Опр Нижняя площадь фигуры А - по всем P⁰ содержащ в A:P⁰ c A

Опр Верхняя площадь фигуры А - по всем

Опр Фигура AcR² наз-ся квадрируемой, если её нижняя и верхняя площади совпадают. В этом случае

 

Основные понятия связанные с плоскими кривыми

Опр. Плоской кривой в назы-ся любое непрерывное отображение отрезка или (1)

Опр. Две кривые

наз-ся совпадающими, если непрер. строго возраст ф-ция

1)

2) ;

Опр. Носителем (графиком) кривой (1) наз-ся геом. образ этой кривой, т.е. мн-во точек по всем

Опр. Точки плоскости наз-ся началом и концом (1), если , то кривая наз-ся замкнутой, иначе разомкнутой.

Опр. Точки , которым соотв. несколько точек , называются точками самопересечения кривой, искл. случай – для замкнуто кривой.

 

Основные классы кривых

|Г| - носитель кривой Г

Опр Кривая называется простой или жордановой, если – взаимнооднозначн. (для замкн. кривой –

Опр Кривая наз-ся гладкой, если на непр. диф-ема на [a,b] и их произв. одновременно не обращ. в 0

Опр Кривая наз-ся кусочно гладкой, если [a,b] можно разбить на кон. число отрезков, каждая кривая на которых будет гладкой

Опр Пусть – нек. кривая, – разбиение отрезка [a,b], тогда ломаная с паследоват. вершинами называется вписанной в кривую Г

Опр Кривая называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломанных вписанных в кривую ограничено сверху. В этом случае конечн. верхняя граница называется длиной кривой: , где sup берется по всем разбиениям Т [a,b]

 

Производная по направлению.

Опр. Пусть Е – открытое мн-во в Rⁿ и – скал ф-ия. Пусть далее – некот единичный в-р, тогда производная по направлению наз число , если lim сущ-ет и конечен.

Т. Пусть открытое мн-во и скал ф-ия диф-ма в т. , тогда в этой точке сущ производная по любому направл. и верно рав-во

 

Основные понятия числовых рядов.

Опр. Числ. ряд – посл-ть конечных сумм спец вида постр по к-либо числ посл-ти

Осн.понятия:

1)общий член 2)частичная сумма 3)остаток 4)отрезок 5)знакопост 6)знакоположит/знакоотриц 7)знакопеременный

 

Признаки Куммера и Раабе.

Т. (Пр-к Куммера).Пусть ∑an- знакаположительный ряд и -некотор посл-ть положит чисел, пусть далее K_n=C_n -C_n+1,n=1,2,… перемен Куммера для ряда ∑an постр по данной посл-ти (C_n), тогда: 1)Если такое δ>0, что начиная с некоторого номера K_n δ, то ряд ∑an сх-ся; 2)если начиная с некоторого номера 0 и при этом ∑ расх-ся, то ряд ∑an также расх-ся.

Т. (Пр-к Раабе).Пусть сущ-ет конечный или предел R=lim n( -1), тогда: 1)при R>1 ряд сх-ся; 2)при R<1 ряд расх-ся; 3)при R=1 необх дополн исслед ряда.

 

Признаки Бертрана и Гаусса.

Т. (Пр-к Бертрана).Пусть для знакоположительного ряда ∑an сущ-ет конечный или предел B=lim B_n, B_n=(R_n-1)ln n, где R_n –переменная Раабе, тогда: 1)при B>1 ряд сх-ся; 2)при B<1 ряд расх-ся; 3)при B=1 необх дополн исслед ряда.

Т.(Пр-к Гаусса). Пусть ∑an- знакаположительный ряд, пусть сущ-ют λ и μ такие, что отношение можно представить в виде: =λ+ +O() при n→+∞, тогда ряд ∑an: 1)сх-ся, λ>1 или ; 2)расх-ся, λ<1 или ; 3)сомнительных случаев нет.

 

Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.

Опр F(x) – первообр для f(x) на некот промежутке, если на этом промеж F(x) – дифф и F’(x)=f(x)

Св-ва первообр:

1)Если F(x) – первообр для f, то F(x)+C – также первообр

2)Если F(x) – первообр для f, x?X, то любая др первообр для f на том же промеж будет F(x)+C

3)Разность между V 2мя первообр для f(x) на промеж = С

Опр Неопр инт-л от f на некот промеж наз-ся мн-во всех первообр для f на этом промеж, и обозн , где F(x) – любая первообр для f, C=const

Св-ва неопр инт-ла:

1)

2)

3)

 

2.Таблица основных интегралов

1)∫A(x)dx=Ax+C; 2)∫x^αdx=((x^α+1)/(α+1))+C; 3)∫dx/x=ln|x|+C; 4)∫a^xdx=a^x/lna; 5)∫sinxdx=-cosx+C; 6)∫cosxdx=sinx+C; 7)∫dx/cos²x=tgx+C; 8)∫dx/sin²x=-ctgx+C; 9)∫shxdx=chx+C; 10)∫chxdx=shxdx+C; 11)∫dx/ch²x=thx+C; 12) ∫dx/sh²x=-cthx+C; 13)∫dx/(x²+1)=arctgx+C; 14)∫dx/(x²-a²)=(1/2a)*ln|(x-a)/(x+a)|;