Длина гладкой кривой. Спрямляемость кусочно-гладкой кривой

Т Гладкая кривая спрямляема, и для ее длины справедл. формула:

T Кусочно гладкая кривая спрямляема, и ее длину можно вычислить

где – отрезки, на которых кривая гладкая.

 

Площадь поверхности вращения

Опр Поверхность вращения графика ф-ции вокруг Ох наз-ся квадрируемой, если мн-во площадей всех поверхносей ломаных линий, вписанных в это графикограничено сверху. Площадь фигуры вращения –

Если на [a,b] имеет непрерывн произв, то

 

39. Евклидово пространство в (основные понятия)

Опр Пр-во наз-ся декарт произв -штук), т.е. мн-во всех упорядоченных наборов

Опр Евклидово расстояние (метрика) в - функция

Теор ф-ла(1) удовлетв всем условиям метрики

Опр Длиной (евклидовой мерой) в-ра наз-ся число где – начало координат в

Опр Скалярное произведение векторов наз-ся число (

(

 

 

41. Основные топологические понятия в

Опр Окрестностью т. наз-ся мн-во

,

Опр Мн-во наз-ся открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой окрестностью.

Опр – замкн. если – открыто в

Опр Мн-во наз-ся сферой с центром в т. и радиусом . Замкнутое.

Опр т. по отношению к мн-ву наз-ся:

внутренней, если содерж в Е с некот своей окр-тью

внешней, если явл-ся внутренней для СЕ

граничной, если ни внутр, ни внешняя

предельной, если – бесконечн множество

изолированной, если

Опр мн-во наз-ся замыканием мн-ва и обозначается

Теор мн-во – замкнуто в

 

40. Сходимость в и его полнота

Опр Посл-ть в-ров из наз-ся сходящейся к вектору , если

Теор Сходимость посл-ти векторов равносильно их покоординатной сх-ти:

 

Теор(крит Коши) Посл-ть в-ров сх-ся в тогда и только тогда, когда она фундаментальна:

Следств Евклидово пр-во явл-ся полным.

Кратные пределы отображений. Теорема о покоординатной сходимости

Опр Пусть - предельная точка . Принято говорить, что , явл-ся пределом в т. по мн-ву , если вып-ся одно из условий:

Повторный предел. Теорема о существовании повторного предела.

Повторными пределами для в точке , предельной для Е, наз-ся пределы по мн-ву Е вида:

Теор (о сущ-ии повтор предела) Пусть для скалярной ф-ий 2-х перемен в некоторой точке интеграл, а также предел по одной из переменных, тогда в этой точке сущ-ет и соотв двойной предел.

44.Непрерывность отображений из в . Локальные свойства.

Опр Ф-ция – непрерывна в точке , если

Локальные свойства:

1) - непрер

2) , непрерывное в т. , ограничено в некоторой

3) Если g – непрерывно в , a - непрерывно в , причем , то определено отображение и оно непрерывно в точке .

Глобальные свойства непрерывных отображений

1) Если отображение - непрерывно на компакте , то оно равномерно непрерывно на .

2) Если отображение - непрерывно на компакте , то оно ограничено на

3) Если ф-ция - непрерывна на компакте , то она принимает в некоторых точках мин. и макс. из своих значений на .

4) Если ф-ция - непрерывна на связном мн-ве Е, принимает в точках значения , то .

 

46.Линейные отображения из Rⁿ в R^m.

Линейное отображение векторного пр-ва Х в Y наз-ся линейным над полем R, если:

Т. Отображение линейно т. и т. т., когда линейными явл-ся все его коорд ф-ии.

Т. Для любого линейного

Линейное отобр непрер в любой точке

 

47 Дифференцируемые отображения из Rⁿ в R^m. Простейшие свойства

Опр Отобр , называется дифф-мым в точке , если для него сущ-ет такое отображение , что

Св-ва:

1) Если отобр диф-мо в т. , то его производная опр-ся однозначно

2) Если отобр диф-мо, то оно непрерывно в этой точке

Дифференцируемость композиции отображений.

Пусть – откр мн-ва. Пусть далее f:X->Y диф в точке , а отобр g:Y->R^p диф-мо в т. . Тогда композиция g o а диф-ма в т. и справедл рав- во:

 

Теорема о покоординатной дифференцируемости отображения

Диф-ость отобр равнос диф-сти всех его покоорд ф-ий f_k, причём справ-во покоординатное представление диф-ла отобр: , где – стандартный базис в .

 

Частные производные. Теорема о смешанных производных.

ОПР Частной произв 1го порядка скал ф-ии по переменной в т. наз-ся обыкновен произв ф-ии в т. , т.е. предел:

Т. (о смешанных произв) Если смешанные частные производные и сущ в некот окр-сти в т. и непр-ны в самой т. , то они совпадают в этой точке, т.е. =