Линейность и монотонность интеграла Римана

Т(линейность) Если ф-ии то при их лин комбинация также инт-на на [a;b]:

Т(монотонность) Если ф-ии , a<b и , то вместе с тем и

 

Аддитивность инт-ла Римама

Т(аддитивность) Если f by-на на [a;b], то она инт-на на [a;c] и [c;b]:

 

Интегрируемость модуля функции. Оценка интеграла.

Т(об инт-сти модуля) Если то и , причём модуль инт-ла не превосходит инт-ла модуля.

Сл-вие(оценка инт-ла) Если , то , где

Замеч Если f непрер на [a;b], то

Интегрируемость произведения функций

Т(инт -ость произв ф-ий) Если , то и

Т(оценка инт-ла от произв) Пусть выполнены усл:

1) , a<b

2)

3) Для некот const m и M, ф-ия удовл нер-вам , , тогда справедливы оценки: m .

Первая теорема о среднем для интегралов

T. Пусть выполняется условие:

1)

2) хотя бы одна функция (пусть g(x)) меняет знак на [a;b]

3) , тогда , то

Причём кроме того, если f непрерывна на [a;b], то

Формула Ньютона-Лейбница

Т. Если f:[a,b]->R интегрирована на [a,b] и на этом отрезке сущ первообразная F ф-ии f, то справедливо равенство:

Существование первообразных

Т. Непрерывн на отр-ке ф-ия имеет первообразную на этом отр-ке.

Т. Пусть ф-ия f(x) инт-ма на [a;b], тогда инт-л с перемен верх пределом F(x)= явл ф-ей непрер на [a;b]

 

Замена переменной в определённом интеграле

Т. Пусть выполнены условия:

1) f – непрер на [a;b]

2) ф-ия непр, диф-ма на

3)

Тогда справедлива ф-ия замены переменной в опр инт-ле

Т. (усил вариант замены)Пусть выполняются условия:

1)

2) ф-ия непр, диф-ма и строго монотонна на

3) , тогда ф-ия также инт на

Тогда справедлива формула

 

Интегралы от чётных, нечётных и периодических функций. Интегрирование по частям.

T. Интеграл от чётной интегрируемой функции по симметричному относительно 0 прямоугольнику равен удвоенному интегралу по половине прямоугольника. А интеграл от нечетной функции равен 0:

Т. Пусть f:R->R имеет период Т и интегрируема на каждом отрезке [a;b]cR, тогда интеграл от f по любому отрезку длины T сохраняет const значение:

Т. Пусть ф-ии U=U(x) и V=V(x) имеют на отрезке [a;b] инт-мые производные, тогда

 

29.Открытые и замкнутые множества в R²

(граница – замкнутое мн-во)

Опр Мн-во XcR² наз-ся открытым в R², если все точки внутренние, т.е. X=X⁰

Опр Т.М называется предельной для множества А, если в V ей окрестности U(M) есть беск мн-во точек из А. Предельная точка может принадл или не принадл мн-ву.

Опр Мн-во YcR² называется замкнутым в R², если его дополнение CY= R²\Y открыто в R² или если содержит все свои предельные точки
– замыкание мн-ва А (мн-во А + все его предельные точки)

Замкнутое мн-во совпадает со своим замыканием.

 

Квадрируемые фигуры

Опр Нижняя площадь фигуры А - по всем P⁰ содержащ в A:P⁰ c A

Опр Верхняя площадь фигуры А - по всем

Опр Фигура AcR² наз-ся квадрируемой, если её нижняя и верхняя площади совпадают. В этом случае

 

О критериях квадрируемости плоской фигуры

(1ый кр. квадр) – квадрируема

(2ой кр. квадр)

(3ий кр. квадр) Необх и дост, чтобы ее граница была фигура площади 0

Площадь криволинейной трапеции

Пусть f:[a;b]→R-неотриц ф-ия.Криволиненой трапецией наз мн-во A={(x,y)єR²:a x b; y=f(x)}

Т. Если f:[a;b]→R-неотриц инт-ма ф-ия, то криволинейная трапеция квадрируема и её площадь равна: μ(A)=

Площадь криволинейного сектора

Пусть . Криволинейным сектором наз. плоская фигура , которая в полярн. системе координат может быть задана Если , то

Вычисление объемов некоторых тел

Пусть – тело, распол. между касающимися его плоскостями , - квадрир. Если интегрируемо на , то тело - кубируемо и его объем равен интегралу

Основные понятия связанные с плоскими кривыми

Опр. Плоской кривой в назы-ся любое непрерывное отображение отрезка или (1)

Опр. Две кривые

наз-ся совпадающими, если непрер. строго возраст ф-ция

1)

2) ;

Опр. Носителем (графиком) кривой (1) наз-ся геом. образ этой кривой, т.е. мн-во точек по всем

Опр. Точки плоскости наз-ся началом и концом (1), если , то кривая наз-ся замкнутой, иначе разомкнутой.

Опр. Точки , которым соотв. несколько точек , называются точками самопересечения кривой, искл. случай – для замкнуто кривой.

 

Основные классы кривых

|Г| - носитель кривой Г

Опр Кривая называется простой или жордановой, если – взаимнооднозначн. (для замкн. кривой –

Опр Кривая наз-ся гладкой, если на непр. диф-ема на [a,b] и их произв. одновременно не обращ. в 0

Опр Кривая наз-ся кусочно гладкой, если [a,b] можно разбить на кон. число отрезков, каждая кривая на которых будет гладкой

Опр Пусть – нек. кривая, – разбиение отрезка [a,b], тогда ломаная с паследоват. вершинами называется вписанной в кривую Г

Опр Кривая называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломанных вписанных в кривую ограничено сверху. В этом случае конечн. верхняя граница называется длиной кривой: , где sup берется по всем разбиениям Т [a,b]