Первообразная. Теорема о связи двух первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Первообразная. Теорема о связи двух первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого Так, функция является первообразной функции в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция также является первообразной функции Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Т. Если F1(x) и F2(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.

Свойства: а) Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то (постоянную можно выносить за знак интеграла)

б) Если функции f (x) и g (x) имеют первообразные на промежутке X, то (интеграл суммы равен сумме интегралов)

в) Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек этого промежутка: (производная от интеграла равна подынтегральной функции)

г) Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: (интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования)

 

Интегрирование по частям.

Если функции u (x) и v (x) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v (x) du(x), то существует и интеграл u (x) dv (x) и имеет место равенство: u (x) dv (x) = u (x) • v (x) – v (x) du (x) или в более короткой форме:

u dv = u v – v du.

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями.

 

Интегрирование дробно-рациональных выражений.

Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определённого

Интеграла.

Число J называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a; b], если для любого ε > 0 существует такое что для разбиения отрезка [a; b] на равные части n точками и для любого выбора точек выполняется неравенство

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.

Свойства определённого интеграла.

а) Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

б) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю .

в) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

г) Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

д) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

е) Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Теорема о среднем значении (док-во).

Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что (14). В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что , получим m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a). Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству Таким образом, частное есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14). Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a> b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

 

Однородные ОДУ.

Уравнение вида Заменой z = y/x это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции z = z(x)

 

Линейные ОДУ.

Под линейным ОДУ первого порядка понимают уравнение, которое является линейным по отношению к неизвестной функции и ее производной: в данном случае и представляют собой заданные непрерывные функци от х или являются постоянными. Y=U*V – сводится к 2 ур. с разделенными переменными.

 

Уравнение Бернулли.

, y=U*V. В рез-те замены данное уравнение сводится к 2.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) 1-ого порядка где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .

 

Первообразная. Теорема о связи двух первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого Так, функция является первообразной функции в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция также является первообразной функции Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Т. Если F1(x) и F2(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.

Свойства: а) Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то (постоянную можно выносить за знак интеграла)

б) Если функции f (x) и g (x) имеют первообразные на промежутке X, то (интеграл суммы равен сумме интегралов)

в) Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек этого промежутка: (производная от интеграла равна подынтегральной функции)

г) Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: (интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования)

 

Интегрирование по частям.

Если функции u (x) и v (x) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v (x) du(x), то существует и интеграл u (x) dv (x) и имеет место равенство: u (x) dv (x) = u (x) • v (x) – v (x) du (x) или в более короткой форме:

u dv = u v – v du.

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями.