Однородные оду с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения.

Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения

а также одно частное решение неоднородного уравнения. Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

Для поиска частного решения неоднородного уравнения в случае, если -- постоянные, можно использовать метод неопределенных коэффициентов. А именно, если является многочленом ф от х с постоянными коэффициентами, либо есть сумма или произведение указанных функций, то частное решение можно искать в таком же виде, но с другими коэффициентами, подлежащими определению. Исключение составляют особые (резонансные) случаи, когда либо 1) -- многочлен, и является корнем кратности характеристического уравнения, либо 2) , и являются корнями кратности характеристического уравнения. В этих особых случаях частное решение отличается от правой части уравнения не только постоянными коэффициентами, то и дополнительным множителем.

Для решения неоднородного дифференциального уравнения малого порядка можно использовать метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Пусть и -- независимые частные решения уравнения . Тогда решение уравнения по методу Лагранжа находится в виде , где а и б -- функции от х, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений:

Следовательно,

Решив полученные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, получим и общее решение исходного дифференциального уравнения.

 

Неоднородные ОДУ с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

Уравнение (9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; - постоянные вещественные числа. Если функция ) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.

Уравнение

(9.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; - постоянные вещественные числа. Т. к. функция ф от х) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части.

Уравнение (9.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2). Система функций называется линейно независимой в интервале а -б если тождество( - постоянные числа)

 

может выполняться только когда все . Если к тому же каждая из функций является частным решением однородного уравнения (9.2), то система решений одно-родного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная система решений найдена, то функция

дает общее решение однородного уравнения (9.2 (все с от к -константы). Фундаментальная система решений имеет вид:

Функция дает общее решение однородного уравнения (9.2) (все с от к - константы).

 

Метод вариации произвольных постоянных. Структура частного решения неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Метод пригоден для линейных уравнений (с постоянными и произвольными коэффициентами), если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения. Общее решение в этом случае можно найти для правой части произвольного вида (необязательно стандартного).

Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется в виде

где - непрерывно дифференцируемые функции от x;

- фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; Н - порядок уравнения.

Функции определяются из системы:

где - правая часть заданного уравнения.

Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

где Pm1(x) и Qm2(x) - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s0 как корня характеристического уравнения, m= max(m1, m2). Тогда частное решение надо искать в виде, где Rm(x) и Sm(x) - многочлены степени m с