V. Неопределенный и определенный интегралы.

Для справок приводим таблицу неопределенных интегралов. Интегрирование, основное на применение таблицы основных интегралов, основных свойств неопределенного ∫ - ла, а также простейших тождественных преобразований подынтегральной функции, принято называть непосредственным интегрированием.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

 

 

Пример 1. Найти интегралы:

а) б) в)

Решение.

а) Применяя табличные интегралы, получим:

 

.

 

б) Преобразуем подынтегральную функцию и представим заданный интеграл в виде суммы двух других, каждый из которых табличный:

 

 

 

в) Чтобы привести данный интеграл к табличному, выразим стоящую в числителе единицу как sin²x + cos²x и разделим почленно на знаменатель:

 

 

 

Если данный интеграл не является табличным и не может быть найден способом непосредственно интегрирования, то введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к табличному. В этом сущность так называемого метода подстановки.

 

 

Пример 2. Найти интегралы, применяя соответствующие подставки:

а) б) в) .

 

Решение.

а) Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим t = x² + 1. Дифференцируя, получим dt = 2xdx, xdx = . Производя замену, получаем:

б) Пусть t = arcsin x, тогда ; следовательно,

.

в) Так как cosxdx есть дифференциал функции sin x, то данный интеграл приводится к табличному так:

Пусть u и – дифференцируемые функции от переменной х. Определим дифференциал произведения этих функций:

d (u ) = ud + du, откуда ud = d (u ) – du.

Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим:

(1)

Эта формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Ей пользуются в тех случаях, когда есть более простой интеграл по отношению к данному интегралу .

 

Пример 3. Найти интегралы:

Решение.

а) Пусть u = х и dσ = e^2xdx, тогда du = dx и σ = .

Произвольную постоянную С можно учесть в окончательном ответе.

Применяя (1), получаем:

б) Пусть u = arc sin x, dσ = dx, тогда

+

 

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

 

I. II. , где m – целое число, m > 1;

III. где , т.е. квадратный трехчлен х² + рх + q не имеет действительных корней;

IV. где n – целое число, n > 1; т.е. квадратный трехчлен х² + рх + q не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби соответственно называют соответственно дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей I, II, III типов:

I. .

II. .

III. (здесь в знаменателе исходного интеграла выделили полный квадрат и свели к табличному интегралу).

IV. - сводится к табличному либо путем различных преобразований подинтегральной функции, либо используя рекуррентную формулу.

 

 

Пример 4. Найти интегралы:

Решение.

а) Данная дробь – правильная, ее знаменатель разложен на простейшие множители. Множителю (х – 1)³ соответствует сумма трех простейших дробей а множителю (х + 3) – простейшая дробь Итак, имеем:

Освободимся от знаменателя:

х² + 1 = А(х + 3) + В(х – 1)²(х + 3) + С(х – 1)²(х+3)+ D(x – 1)³ (*)

 

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3.

Полагая в (*) х = 1, получаем, что 2 = 4А или А=

Полагая в (*) х = -3, получаем, что 10 = - 64 D или D = .

Сравним теперь коэффициенты при старших степенях х в левой и правой частях (*), т.е. при х³. В левой части равенства (*) нет члена с х³, т.е. коэффициент при х³ равен 0. В правой части коэффициент при х³ равен С + D. Итак, С + D = 0, откуда C =

Остается определить коэффициент В. Для этого надо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х²) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая х = 0, получаем из равенства (*): 1 = 3А – 3В + 3С – D или т.е.

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид:

Таким образом, получим:

 

 

б) Разложим знаменатель дроби на множители: х⁵ – х² = х²(х³ - 1) = х²(х – 1) (х² + х + 1).

Тогда

 

Освобождаемся от знаменателя:

1 = А(х – 1)(х² +х + 1) + В(х – 1)(х² + х + 1)х + С х²(х² + х + + 1) + (Dx + E) x² (x – 1).

Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. Из последнего равенства при х = 0 имеем 1 = -А, т.е. А = -1; при х = 1, имеем 1 = 3С, т.е. С =

Перепишем предыдущее равенство в виде:

1 = А(х³ – 1) + В(х⁴ – х) + С(х⁴ + х³ + х²) + Dx⁴ +Ex³ –Dx³ – Ex².

Сравнивая коэффициенты при х⁴, х³, х², получаем систему уравнений

Итак,

Следовательно,

в) Так как х² + 1 есть двукратный множитель, то Освобождаясь от знаменателя, получаем: х³- 2х = Ах + В + (Сх + D) (х²+ 1). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

 

х³: 1 = С,

х²: 0 = D,

х: -2 = А + С, А = -3,

х⁰: 0 = В + D, В = 0.

 

Следовательно,

 

г) Выделим целую часть данной неправильной дроби, поделив числитель на знаменатель:

Следовательно,

Разложим теперь правильную дробь на простейшие дроби:

Освободимся от знаменателей:

8х³ – 16х + 1 = А(х + 2)²+ В(х – 2)(х + 2)²+С(х – 2)²+D(х + 2)(х – 2)².

Принимая в последнем равенстве:

х = 2: 33 = 4² А, откуда А=

х = -2: -31 = 16 С, откуда С= -

х =0: 1 = 4А – 8В + 4С + 8D, откуда –16В + 16D = 1.

Для того, чтобы найти В и D, сравнив коэффициенты при х³, получим еще одно уравнение: 8 = В + D. Решим получившуюся систему уравнений:

Находим, что

Итак,

Пример 5. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение.

Приближенные методы интегрирования имеют очень большое значение. На практике часто приходится иметь дело с определенными интегралами, которые с помощью формулы Ньютона – Лейбница или искусственными приемами найти практически невозможно. В этом случае значение интеграла находят приближенно, например, применяя формулу Симпсона:

(2)

где n – четное число, на которое разбивается отрезок интегрирования,

В данном примере n = 10, а = 2, в = 12, то

.

Составим таблицу значений данной функции :

 

47,614

4

411,696

 

80,147

2

160,294.

 

Окончательно получаем:

Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются:

1) интегралы с бесконечными пределами;

2) интегралы от неограниченных функций.

 

Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до + ∞ определяется равенством:

 

(3)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл (3) называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.

Аналогично:

(4)

(5)

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [ a; в ] и непрерывна при а ≤ х <с и с < х ≤ в, то по определению полагают:

(6)

Несобственный интеграл , где f(c) = ∞, a < c < в, называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства (6), и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

 

 

Пример 6. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

 

а) б) в)

Решение.

а) Применяя равенство (3), получаем:

следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл расходится.

 

б) Применяя равенство (4), получаем:

следовательно, данный интеграл сходится и он равен .

в) Подынтегральная функция имеет бесконечный предел при х = 1, т.е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования.

 

Применяя равенство (6), получаем:

следовательно, данный интеграл сходится и он равен 6.

 

Определенный интеграл

Пример 7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой у = х + 1.

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(x), снизу – непрерывной кривой у = φ(х), слева – прямой х = а, справа – прямой х = в, вычисляется по формуле

 

(7)

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

, (8)

для которого необходимо найти первообразную функцию F(x) и вместо переменной х подставить сначала верхний предел в, затем нижний предел а и из 1-го результата вычесть второй.

 

Определим точки пересечения данных линий, решив совместно систему уравнений

Подставив в 1-ое уравнение системы суммы (х + 1), вместо у, получим:

откуда х₁ = 2, х₂ = 11 и, следовательно, у₁=3, у₂=12. Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 3) и В(11; 12) (рис. 10).

 

Так как сверху фигура ограниченна прямой, а снизу – параболой, то применяя формулу (7), имеем:

 

 

Рис. 10

Дифференциальные уравнения (ДУ)

 

ДУ І порядка имеет вид:

F = (x, y, y^/) (1)

 

или (если его можно разрешить относительно у^/) вид:

 

у^/ = f (x, y) (2)

 

Решение уравнения (1) или (2), содержащее произвольную постоянную С, то есть имеющее вид у = φ (х, С), называется общим решением этого уравнения. Если это решение получается в неявной форме Ф (х, у, С) = 0, то его называют общим интегралом уравнения (1) или (2).

Если придать произвольной постоянной С некоторое фиксированное значение, то из общего решения (общего интеграла) получим частное решение (частный интеграл) этого уравнения.

Уравнение І порядка Р (х, у) dx + Q (x, y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция Р (х, у) и Q (х, у) разлагаются на множители, зависящие каждый только от данной переменной:

 

f₁ (x) f₂ (y) dx + φ₁ (x) φ₂ (y) dy = 0 (3)

 

В этом уравнении путем деления его членов на f₂ (y)φ₁ (x) переменные разделяются и общий интеграл находится почленным интегрированием:

 

 

Функция f(x, y) называется однородной измерения m, если f (λ x, λy) = λ^m f(x, y).

Однородное ДУ первого порядка называется уравнение у^/ = f (х,у), если f(х,у) – однородная функция нулевого измерения.

Замечание. Уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет однородным, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

Однородное уравнение может быть приведено к виду у^/ = f(y/x). С помощью подстановки у/х = t однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t = t(x).

Уравнение вида:

(4)

 

где Р (х) и Q (x) – заданные непрерывные функции, называются линейным. ДУ І порядка (у и у^/ входят в первых степенях, не перемножаясь между собой). Если Q (x) ≠ 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q = 0 – линейным однородным в смысле правой части.

Неоднородное линейное ДУ І порядка посредством замены искомой функции у = и σ сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

 

Пример 1. Найти общее решение ДУ.

 

а)

б)

Решение.

а) Данное уравнение является однородным, так как функции Р(х, у)=2ху и Q(х, у)=(у²-х²) – однородные второго измерения относительно х, у:

 

 

Применяем подстановку у = хt, где t – некратная функция аргумента х.

Если у = хt, то дифференциал dy = tdx + xdt, и данное уравнение примет вид:

 

2х ^. xtdx + (x²t² – x²) (tdx + xdt) = 0

 

Сократив на х², будем иметь:

 

 

Получилось уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, найдем общее решение этого уравнения:

 

Потенцируя, находим или х (1 + t²) = Сt. Из введенной подстановки следует, что Следовательно, или х² + у²= Су – общее решение данного уравнения.

 

б) Поделим обе части уравнения на произведение функции ху, получим:

Введем подстановку , откуда где Тогда последнее уравнение примет вид: или

 

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

или

Возвращаясь к переменным х и у, получаем или - искомое общее решение ДУ.

 

 

Пример 2. Решить уравнение.

 

а)

б)

Решение.

а) Поделим обе части уравнения на соs х:

 

(1)

 

Это линейное неоднородное уравнение. Введем подстановку у = иσ, тогда у΄= и΄σ + иσ΄ и данное уравнение (1) преобразуется к виду

или

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух вспомогательных функций и и σ, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем в качестве σ какой-либо частный интеграл уравнения:

(2)

Тогда для отыскивания функции и получим уравнение:

 

(3)

Уравнение (2), есть уравнение с разделяющимися переменными относительно σ и х. Решим его:

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрирования находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0.

Подставив в (3) найденное выражение для σ, получим:

 

Интегрируя, получаем:

 

Тогда

или

- общее решение уравнения (1).

 

б) Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию у и ее производную у^/ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , тогда и уравнение примет вид:

 

или

(4)

Полагаем

u΄-utg x = 0 (5)

 

Тогда уравнение (4) примет вид:

 

(6)

 

Уравнение (5) – уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

(значение произвольной постоянной принимаем С =0)

 

Подставив в (6) найденное выражение для и, получим:

Тогда - общее решение данного уравнения.

 

Дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида:

F(x, y΄y΄΄,…y⁽ⁿ⁾) = 0

Решением такого уравнения служит всякая n раз дифференцированная функция у = φ (х), которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.:

 

F (x, φ(x), φ΄(x), φ⁽ⁿ⁾(x)) = 0.

Для дифференцированного уравнения вида

 

F (x, y^(k), y^(k+1), …, y⁽ⁿ⁾)= 0,

Не содержащего искомой функции у, порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. пологая y^(k)=z.

Тогда получим уравнение

F (x, z, z΄, …, z^(n-k)) = 0

Таким образом, порядок уравнения понижается на k единиц.

 

Пример 3. Найти общее решение уравнения

 

(1)

Решение.

Данное уравнение II порядка не содержит явно функцию у. Положим у΄=z, где z – некоторая функция аргумента х. Если у΄=z, то у ΄΄ =z΄ и данное уравнение (1) примет вид: или

(2)

Это однородное уравнение I порядка.

Введем подстановку откуда z = xt, z΄=t΄x + t и уравнение примет вид:

или

Интегрируя, находим:

, или

Потенцируя, получаем:

или откуда

Возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению

Это уравнение вида у⁽ⁿ⁾=f(x), решение которого находится n – кратным интегрированием.

Следовательно, Для нахождения данного интеграла применяем формулу интегрирования по частям:

(3)

 

Положим u = x, dσ= dx, тогда du = dx, Применяя формулу (3), получаем общее решение уравнения (1):

 

 

Для ДУ вида

F (y, y΄, y΄΄, …, y⁽ⁿ⁾) = 0,

не содержащего независимой переменной х, допускается понижение порядка на единицу, если положить у^/ = z, а за новый аргумент принять сам у. В этом случае у΄΄, у΄΄΄, … выразятся по формулам (они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции:

… через z и производные от z по y, причем порядок уравнения понизится на единицу.

 

 

Пример 4. Решить уравнение у΄΄(1 + у) = у΄²+ у΄.

Решение.

Уравнение не содержит независимой переменной х. Положим у΄= z, y΄΄= и данное уравнение примет вид: или ; это уравнение первого порядка относительно z c разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

 

 

Возвращаясь к переменной у, получаем уравнение у΄=С₁(у + 1 ) – 1; это уравнение I порядка с разделяющимися переменными.

 

 

– общий интеграл данного уравнения.

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

 

Уравнение , (1)

где p и q – действительные числа, f(x) – известная непрерывная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянным коэффициентом.

Функция y=φ(x, C₁, C₂), удовлетворяющая уравнению (1) при любых значениях произвольных С₁ и С₂, называется его общим решением.

Решение уравнения (1), получающиеся из общего решения при конкретных значениях постоянных С₁ и С₂, называется частным решением уравнения (1).

Т.к. в функцию y=φ(x, C₁, C₂) входят две произвольные постоянные C₁ и C₂; то для выделения из общего решения уравнения (1) некоторого частного решения необходимо иметь два начальных условия: если х=х₀, то у=у₀, у′= у′₀, то есть у(х₀)=у₀, у′(х₀)= у′₀..

Для общего решения неоднородного уравнения (1) справедлива следующая теорема.

 

ТЕОРЕМА. Общее решение у_об.н. неоднородное уравнение (1) равно сумме общего решения у_одн соответствующего однородного уравнения и любого частного решения у_ч.н. данного неоднородного уравнения (1).

у_об.н.=у_одн+у_ч.н.

Согласно этой теореме для решения уравнения (1) вначале находится функция у_одн – решение однородного дифференциального уравнения

, (2)

где p, q – постоянные действительные числа.

Общее решение уравнения (2) находится с помощью характеристического уравнения.

 

k²+pk+q=0, (3)

 

которое получается из уравнения (2), если, сохраняя в нем коэффициенты p и q, заменить функцию у′ единицей, а все ее производные соответствующими степенями k.

При этом:

1) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (3) действительные и различные, то общее решение уравнения (2) выражается формулой

 

.

2) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (3) действительные и равные (k₁=k₂), то общее решение уравнения (2) выражается формулой

 

.

 

3) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (3) комплексные (k₁=α+βi, k₂= α-βi), то общее решение уравнения(2) есть:

 

.

Для некоторых специальных видов функции f(x) частное решение у_ч.н. уравнение (1) можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части f(x) можно заранее указать вид частного решения у_{ч.н .}, где неизвестны лишь числовые коэффициенты, в следующих простейших случаях.

 

I. f(x)=P_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n.

В этом случае у_ч.н. есть многочлен Q_n(x) той же самой степени n,что и многочлен P_n(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения (3); если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r, то у_ч.н.=х^кQ_n(x).

 

II. f(x)=ae^mx (a, m – некоторые числа).

В этом случае у_ч.н.=Ае^mx, если число m не является корнем характеристического уравнения (3) и у_ч.н.=Аx^rе^mx, если число m является корнем характеристического уравнения кратности r.

Здесь А – подлежащий определению коэффициент.

 

III. f(x)=e^mx P_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n.

В этом случае у_ч.н.=е^mxQ_n(x), если число m не является корнем характеристического уравнения и у_ч.н.=х^rе^mxQ_n(x), если число m является корнем характеристического уравнения кратности r. Здесь Q_n(x) – многочлен той же степени n, что и P_n(x).

Например: Q₀(x)=А;

Q₁(x)=Ах+В;

Q₂(x)=Ах²+Вх+С;

Q₃(x)=Ах³+Вх²+Сх+D; и т.д.

Коэффициенты А,В,С,D подлежат определению.

 

IV. f(x)=e^αx(acosβx+bsinβx). Тогда у_ч.н.=е^αx(Аcosβx+Вsinβx), если число α±βi не является корнем характеристического уравнения и у_ч.н.=хе^αx(Аcosβx+Вsinβ x), если число α±βi является корнем характеристического уравнения.

Здесь А и В - подлежащие определению коэффициенты.

 

V. Правая часть уравнения (1) функция f(x) есть сумма указанных функций.

Тогда частное решение у_ч.н. этого уравнения есть сумма частных решений уравнений с той же левой частью, что и уравнение (1), а правые части этих уравнений есть каждое слагаемое правой части уравнения (1).

 

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=у₀, у′(0)=у′₀.

 

а) y″-2y′+10y=6cos2x+4sin2х, y(0)=1,y′(0)=6;

б) y″-9y′8y=3x²+2x+1, y(0)=

Решение: а) Вначале находим общее решение однородного уравнения y″-2y′+10y=0; соответствующего данному неоднородному уравнению. Составим и решим его характеристическое уравнение.

k²-2k+10=0

D=4-4·1·10=-36<0, значит, уравнение имеет два комплексно-сопряженных числа.

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения будет (согласно п.3).

у_одн=e^x(C₁cos3x+C₂sin3x).

Правая часть данного уравнения f(x)=6cos 2x+4sin2x, где по п. IV α=0, a=6, b=4, β=2 и числа α±βi =±2i не является корнем характеристического уравнения.

Тогда частное решение данного неоднородного уравнения будет функция вида

у_ч.н.=е^0x(Аcos 2x+Вsin2x)= Аcos 2x+Вsin2x.

Найдем производные первого и второго порядка функции у_ч.н.:

y′_ч.н.=-2Asin2x+2Bcos2x,

y″_ч.н=-4Acos2x-4Bsin2x.

Представим у_ч.н, y′_ч.н, y″_ч.н в данное неоднородное уравнение:

-4Acos2x-4Bsin2x-2(_.-2Asin2x+2Bcos2x)+10(Аcos 2x+Вsin2x)= 6cos2x+4sin2x,

(6А-4В)cos 2x+(6B+4A)sin2x=6cos 2x+4sin2x, которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов у подобных членов в обеих его частях:

 

 

Следовательно, у_ч.н=cos 2x и общее решение данного неоднородного уравнения будет:

у_об.н.=у_одн+у_ч.н.,

у_об.н= e^x(C₁cos3x+C₂sin3x)+ cos 2x

Используя начальные условия, найдем значения произвольных постоянных С₁ и С₂. Подставляя в общее решение заданные значения х =0, у =1 (первое начальное условие), получим 1= e⁰(C₁cos0+C₂sin0)+ cos 0 или 1=С₁+1, С₁=0.

Дифференцируем общее решение:

у′= e^x(C₁cos3x+C₂sin3x)+ e^x(-3C₁sin3x+3C₂ cos3x)-2sin2x или

у′= e^x((C₁+3C₂ )cos3x+(C₂-3C₁)sin3x)-2sin2x

Подставим в результат дифференцирования заданные значения х =0 и у′ =6 (второе начальное условие), получим второе уравнение с неизвестными С₁ и С₂:

6= e⁰((C₁+3C₂ )cos0+(C₂-3C₁)sin0)-2sin2x или С₁+3С₂=6.

Решая полученные уравнения как систему, найдем С₁ =0 и С₂ =2. Подставляя значения С₁ =0, С₂ =2 в общее решение, получим искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

у=2е^хsin3x+cos2x.

б) Составим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному

Его характеристическое уравнение k²-6k+8=0 имеет корни k₁=2, k₂=4, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет

у_одн=C₁е^2х+С₂е^4х.

Теперь находим частное решение у_ч.н. данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения f(x)=3x²+2x+1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому у_ч.н. есть многочлен той же степени, что и f(x), т.е. многочлен второй степени у_ч.н.=Ах²+Вх+С. Отсюда, дифференцируя, находим у′_ч.н.=2Ах+В, у″_ч.н.=2А и подставляя у_ч.н., у′_ч.н. и у″_ч.н. в данное уравнение, получим равенство

2А-6(2Ах+В)+8(Ах²+Вх+С)=3х²+2х+1,

2А-12Ах+6В+8Ах²+8Вх+8С=3х²+2х+1,

8Ах²+(8В-12А)х+(8С-6В+2А)=3х²+2х+1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из обеих его частей, а только при этом условии оно будет тождественным, получим систему:

Следовательно, у_ч.н.=С₁е^2х+С₂е^4х+