Применяя формулу (1), получим

 

Следовательно,

 

4) Площадь грани А₁ А₂ А₃ равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим через вектор векторное произведение векторов и , тогда площадь параллелограмма , а площадь грани

Координаты вектора найдем по формуле (3):

 

(11; 2; 10)

 

кв. ед.

5) Объем пирамиды V в шесть раз меньше объема параллелепипеда V₁, построенного на трех некомпланарных векторах, и равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение :

 

 

Следовательно, V₁ параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды V = 144/6 =24 куб. ед.

6) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А₁ (х₁, y₁, z₁) и А₂ (х₂, y₂, z₂) имеет вид

 

(7)

 

Подставив в (7) координаты точек А₁ и А₂, получим

 

 

7) Уравнение плоскости А₁А₂А₃ – это уравнение грани А₁А₂А₃, которое найдено в п.3:

 

А₁А₂А₃ : 2х – у – 2z – 3 = 0

 

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ – это перпендикуляр А₄Д. Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид

 

(8)

 

где х₀, у₀, z₀ – координаты точки, через которую проходит прямая (8), а m, n, p – направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку А₄( 0; 1; 4) и перпендикулярные грани А_!А₂А₃ для которой (2; -1; -2), т.е. подставив эти данные в формулу (8), получаем

- уравнение высоты А₄Д

 

 

Пример 3. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой ситеме координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

 

Решение.

1) Построим линию по точкам от φ = 0 до φ = 2π, придавая φ значения через промежуток .

 

Составим таблицу:

 

φ	r(φ)
0^0
22,5^0
45^0
67,5^0
90^0
112,5^0
135^0
157,5^0
180^0
202,5^0
225^0
247,5^0
270^0
292,5^0
315^0
337,5^0
360^0

 

φ	0								π								2π
r	18	17,2	15,2	12,99	11,08	9,66	8,7	8,2	8	8,2	8,7	9,66	11,08	13	15,2	17,2	18

 

Построим полученные точки в полярной системе координат (рис. 1).

Рис. 1.

2) Найдем уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абцисс ОХ – с полярной осью р.

Для этого воспользуемся формулами перехода к прямоугольной декартовой системе координат х = rcosφ, y = rsinφ, откуда r²=x²+y², тогда подставим эти формулы в данное уравнение , получаем:

 

 

 

Возведем в квадрат обе части последнего равенства:

 

 

Разделим обе части последнего уравнения на 24336:

 

 

Полученное уравнение – уравнение эллипса с центром в точке А (5; 0), полуоси которого

 

Проверим r(-φ), зная, что cosφ=cos(-φ)

 

 

Так как r(-φ)=r(φ), то данная линия будетсимметрична относительно полярной оси р и достаточно найти r(φ) для угловот φ=0 до φ=π.

 

 

Пример 4. Данную систему уравнений:

 

решить по формулам Крамера (через определитель) и средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных;

Х – м-цу - столбец неизвестных х₁, х₂, х₃;

В – м-цу – столбец свободных членов:

 

 

С учетом этих обозначений данная система уравнений примет следующую матричную форму:

 

(1)

 

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ), то она имеет обратную матрицу А^-1. умножив обе части уравнения (1) на А^-1, получим:

 

,

 

но - единичная матрица, а ЕХ = Х, поэтому

 

(2)

 

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо выписать обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу и ее определитель равен Δ, тогда где A_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А и

 

где M_ij – минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i –й строки и j – го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения A_ij элементов матрицы А.

 

 

следовательно матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А ^-1.

 

тогда

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

 

 

отсюда х₁=3, х₂=0, х₃=-2.

Если определитель системы уравнений то такая система уравнений имеет одно определенное решение, получаемое по формулам

 

(3)

 

Формулы (3) называются формулами Крамера, где Δх_i получается заменой i-го столбца в главном определителе Δ столбцом свободных членов.

Если определитель системы Δ=0 и по крайней мере один из определителей , то такая система уравнений не имеет решения. Если же Δ=0 и все Δх_i=0, то данная система уравнений либо не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений.

Определитель данной системы .

Вычислим вспомогательные определители:

Применяя формулы (3), находим:

ΙΙ. Введение в математический анализ

Пример 1. Дано комплексное число , требуется:

2) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах;

3) найти все корни уравнения z³ + a = 0, .

Решение.

1) Комплексным числом называется выражение

 

z = a + вi (1)

 

где а и в, действительные числа, а i – мнимая единица, которая определяется равенством i²=-1, ; а – действительная часть числа z, в – мнимая часть числа z. Равенство (1) называется алгебраической формой записи. Числа а + вi и а – вi, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными комплексными числами. Умножим число а на множитель, сопряженным знаменателем:

 

 

Таким образом, имеем: - алгебраическая форма записи комплексного числа а.

Всякое комплексное число z = a + вi можно изобразить на плоскости хОу, в виде точки А(а; в); - начало его в точке О(0; 0), а конец в точке А(а; в).

Точками, лежащими на оси Ох, соответствуют действительные числа (в=0).

Если же точка расположена на оси Оу, то она изображает чисто мнимое число, так как а=0. Поэтому ось Оу называют осью мнимых чисел или мнимой осью, а ось Ох – действительной осью.

Рис 1.

 

Исходя из рис.2 a = r cosφ, в = r sinφ, где r и φ – полярные координаты точки А(а; в). Тогда тригонометрическая форма записи числа запишется в следующем виде:

 

или (2)

 

Величины r и φ выражаются через а и в формулами

где - модуль, φ = arg z – аргумент комплексного числа z, который определяется с точностью до 2πk, k = 0, 1, 2, …

Для данного комплексного числа

Таким образом, - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

2) Представим уравнение в виде или тогда , т.е. задача сводится к вычислению всех значений

Корень n – ой степени из комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле

 

(3)

где - арифметическое значение корня, а число k пробегает значения 0, 1, 2, …, n - 1.

 

Запишем выражение - в виде где

Можно считать, что угол φ принадлежит 3-й четверти; φ = 270˚-α, где α - угол в 1-ой координатной четверти. Имеем тогда

угол

Итак,

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, получим соответственно числа z₁, z₂, z₀.

 

 

Пример 2. Если известен график функции у = f(x), то график функции вида у = kf(mx + b) + a можно построить последовательным преобразованием графика функции у = f(x).

Покажем, например, как с помощью таких преобразований можно построить график функции у = -2sin(2x + 2), исходя из известного графика функции у = sinx. От функции у = sinx к функции у = - 2sin(2x + 2) можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований:

 

y₁ = sin2x₁, y₂ = - 2sin2x₂,

Y = - 2sin2(X + 1) = - 2sin(2X + 2).

Геометрически это приводит к следующим построениям (рис.2):

1) Строим одну волну синусоиды у = sinx; .

2) Отмечаем на синусоиде несколько точек и уменьшаем в два раза их абсциссы, не изменяя ординат; таким образом мы отображаем точку (х; у) и точку (х₁; у₁), где х₁ = х/2, у₁ = у. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у₁ = sin2x₁, являющийся результатом «сжатия» графика функции у = sinx к оси Оу в два раза.

3) Увеличиваем ординаты точек, построенных в предыдущем пункте в два раза, а затем меняем их знаки на противоположные, не изменяя абсцисс; таким образом отображаем точку (х₁;у₁) в точку (х₂; у₂), где у₂ = - 2у₁, х₂ = х₁. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у₂ = - 2sin2x₂, являющейся результатом «растяжения» графика функции у₁ = sin2x₁ от оси Ох в два раза с последующим зеркальным отражением графика от оси Ох.

4) Переносим точки, построенные в предыдущем пункте, на –1 в направлении оси Ох (т.е. на единицу влево); таким образом мы отображаем точку (х₂; у₂) в точку (Х; Y), где Х = х₂ - 1, Y = у₂. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции Y = -2sin 2(X + 1) = - 2sin (2X + 2), являющийся результатом «сдвига» графика функции у₂ = - 2sin 2х₂ на –1 в направлении оси Ох. Искомый график функции у = - 2sin (2x +2) построен.

 

 

Рис. 2.

 

 

Пример 3. Найти пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение.

а) Под знаком предела имеется дробная рациональная функция и при х→∞ получается неопределенность вида . Чтобы найти предел дробной рациональной функции при х→∞, необходимо предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на хⁿ, где n – наивысшая степень многочленов Р(х) и Q(x). Разделим числитель и знаменатель данной дроби на х² и применим основные теоремы о пределах и свойствах бесконечно малых величин:

б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=2 приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

 

 

в) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=0 приводит к неопределенности . Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной.

Так как при х→∞ ln(1 + x)~ x, tg x ~ x, то ln(1 + 3x sin x) ~3x sin x, tg x²~ x² и

(используя 1-ый замечательный предел ).

г) При х→∞ основание стремится к 1, а показатель степени (2х – 1)→∞. Следовательно, имеем неопределенность вида 1^∞. Для ее раскрытия будем использовать II замечательный предел

 

Представим основание в виде суммы: единицы и некоторой бесконечно малой величины:

.

Тогда

.

 

Положим х – 2 = 3у; при х → ∞ переменная у → ∞. Выразим показатель степени через новую переменную у. Так как х = 3у + 2, то 2х -1 = 2(3у + 2) – 1 = 6у + 3. Таким образом,

 

Пример 4. Дана функция у =16^1/(2+х). Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента х₁=-2, х₂=0;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва справа и слева;

3) сделать схематический чертеж.

Решение.

Если ищется предел функции у=f(х) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним (левым) пределом данной функции в точке х = а и условно обозначается так:

Если ищется предел функции у=f(х) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке х = а и условно обозначается так:

Функция у = f(х) непрерывна в точке х = а, если выполнимы следующие условия:

1) функция у = f(х) определена не только в точке а, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2) функция у = f(х) имеет при х→а конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при х → а совпадают со значением функции в точке а, т.е.

Если для данной функция у = f(х) в данной точке х = а хотя бы одно из перечисленных условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х = а.

Разрыв функция у = f(х) в точке х = а называется разрывом первого рода, если существуют конечные односторонние пределы причем не все три числа f(a), f(a-0) и f(a+0) равны между собой.

Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, то разрыв в точке х = а называется разрывом второго рода.

При х = -2, данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х = -2 слева и справа:

а

и

Таким образом, данная функция при х = -2 имеет разрыв второго рода. При х = 0 функция непрерывна, т.к. выполняются все три условные непрерывности функции.

Данная функция является показательной. Прямая х = -2 – вертикальная асимптота графика функции. Множество значений функции – множество всех положительных чисел. у = 1 – горизонтальная асимптота, т.к.

Чтобы построить функцию , составим следующую таблицу:

 

 

х	-10	-6	-4	-3	-1
у

 

 

График функции показан на рис. 3.

 

 

Рис. 3.

 

Пример 5. Задана функция y = f (х) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:

 

Найти: 1) точки разрыва функции, если они существуют;

2)предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа;

3)найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в интервалах (-∞; 0), (0; π) и (π; + ∞). При х = 0 и х = π меняется аналитическое выражение функции и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х = 0;

 

 

Так как односторонние пределы функции у в точке х = 0 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке х = 0 скачок функции Δ=|1 - 0|=1.

Определим односторонние пределы в точке х = π:

 

 

Односторонние пределы совпадают и функция в этой точке непрерывна.

График функции показан на рис. 4.

 

 

Рис. 4.