Элементы операционного исчисления

Пусть функция f(x) обладает следующими свойствами:

1⁰. f(x) ≡0 при t < 0.

2⁰. |f(x)| < Ме^Sot при t > 0, где М > 0 и S₀ – некоторые действительные постоянные.

3⁰. На любом конечном отрезке [а, в] положительной полуоси Ot функция f(x) удовлетворяет условием Дирихле, т.е.:

а) ограниченна;

б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода;

в) имеет конечное число экстремумов.

Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами.

Пусть р = α + βi - комплексный параметр.

При сформированных условиях интеграл сходится и является функцией от р.

Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции f(t) или лапласовым изображением f(t) или просто изображением f(t).

 

Таблица изображений основных элементарных функций

 

№	f (t) при t > 0		№	f (t) при t > 0
				e^αtcos βt
				e^αtsin βt
	е^α^t
	a^t			t cos βt
	cos βt			t sin βt
	sin βt

 

Тот факт, что функция является изображением оригинала f(t), обозначается следовательно символом f(t).

Если дано линейное дифференцированное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny = f(t),

 

правая часть которого f(t) является оригиналом, то и решение этого уравнения, удовлетворяющее произвольным начальным условиям вида:

 

y (0) = y₀, у΄(0) = y΄₀, y΄΄=y₀΄΄, …,y^(n-1)(0) = y^(n-1)₀

 

(т.е. решение задачи Коши, поставленной для этого уравнения, с начальными условиями при t = 0, служит оригиналом. Обозначая изображение этого решения через , находим изображение левой части исходного дифференцированного уравнения и, приравнивая его к изображению функции f(t),приходим к так называемому изображающему уравнению, которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно . Определив из этого уравнения , находим оригинал у(t).

Пусть оригинал f(t) дифференцируем n раз и его производные до n-го порядка в свою очередь являются оригиналами. Тогда справедлива теорема дифференцирования оригинала:

если f(t), то

f^(k)(t) p^k -{ p^k-1· f(0) +p^k-2· f΄(0) + … + f^k-1(0)}, (k 1, 2, …, n).

В частности:

f΄ p · - f(0),

f΄΄(t) p² · - p f(0) - f΄(0),

f΄΄΄(t) p³ · - p² f (0) – p f΄ (0) - f΄΄(0).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

 

y΄΄΄-6y΄΄+11y΄-6y=0, если у(0) = 0, у΄(0) = 1, у΄΄(0) = 0.

Решение.

Переходя к изображениям по теореме дифференцирования оригинала, получим:

 

или

 

Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму, таких простейших дробей, оригиналы которых известны:

 

 

Полагая р =1, находим –5 = 2 А, откуда А = -5/2.

Полагая р =2, находим –4 = - В, откуда В = 4.

При р = 3, находим –3 = 2 С, откуда С = -3/2.

 

Следовательно,

 

Отсюда, используя формулу (3) таблицы изображений, находим:

 

Пример 2. Решить систему уравнений: если х(0) =0, у (0) = 5.

Решение.

Перейдем к изображениям:

х΄

 

Система уравнений примет вид:

 

Из первого уравнения системы выразим , подставим во 2-ое уравнение:

 

Выразим из 2-го уравнения и подставим в 1-ое:

 

или

 

Осталось найти оригинал для и . Разложим дробь на простейшие дроби:

 

 

Полагая р =-1 получаем –8 = 4 В, откуда В= -2.

Полагая р = 0, получаем 2 = -3 А, откуда А =-

Полагая р = 3, получаем 32 = 12 С, откуда С =

Следовательно:

.

 

Тогда

Аналогично поступим с дробью для отыскивания оригинала для .

 

При р = -1, 8 = 4 В, откуда В = 2.

При р = 0, -1 = -3 А, откуда А =

При р = 3, получаем 32 = 12 С, откуда С =

Следовательно:

Тогда

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления

 

у΄΄-2у΄-3у = е^3t, если у(0) = 0, у΄(0) = 0.

Решение

Перейдем к изображениям:

 

y΄΄

y΄

y

е^3t Тогда данное дифференциальное уравнение примет вид:

или, учитывая начальные условия:

откуда

 

 

квадратный трехчлен р²- 2р – 3 можно разложить на два множителя, так как его корни р₁= 3, р₂ = -1: р² – 2р – 3 = (р -3)(р+1).

Окончательно имеем: Осталось найти оригинал данной функции. Разложим полученную рациональную дробь на простейшие дроби:

 

 

Полагая р = -1, получаем 1 = 16 С, т.е. ;

При р = 3, имеем 1 = 4 А, т.е.

Сравнивая коэффициенты при р², получим О = В +С, т. е. Следовательно,

 

откуда, используя таблицу изображений, находим искомый оригинал и решение данного дифференциального уравнения:

или

 

 

 

Пример 4. Решить систему уравнений: если х(0) = у (0) =1.

Решение.

Перейдя к изображениям имеем:

 

Из 1-го уравнения системы выразим , подставим во 2-е уравнение системы:

 

 

Из 2-го уравнения системы выразим , подставим в 1-е уравнение:

Таким образом:

 

Таким образом:

Разложив, полученные дроби на простейшие, по таблице изображений найдем оригинал:

 

 

При р = 5: 12 = 10А, А = 1, 2. При р =5: 6 = 10С, С = 0,6.

При р = -5: 2 =-10В, В = -0,2. При р = -5: -4 = -10Д, Д = 0,4.

 

Следовательно, и

 

Откуда