Методы разложения и внесения под знак дифференциала.

Метод разложения

Интеграл от лин комбин конечного числа инт ф-ий равен той же комбинации инт-лов от инт ф-ий

Const множитель можно выносить за знак диф-ла

Метов внесения под знак диф-ла

 

Замена переменной в неопределённом интеграле.

Т. Пусть x?[a;b] и отобр – диф-ема и биективна. Тогда , где

 

5.Метод интегрирования по частям.

Разложение рациональной функции на простые дроби.

Первообразная любой рац ф-ии выражается через рац ф-ии, а также ln и arctg. Рац часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен Q(x), только с кратностями, на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение Q(x).

Интегрирование рациональных функций.

, где

Первообразная любой рациональой функции выражается через рациональные функции, а также трнсцендентные функции и .

Метод Остроградского

метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби, знаменатель которой — многочлен степени n с кратными корнями, а числитель — многочлен степени m n-1. Согласно этому методу, , где многочлены Q₁, Q₂, P₁, P₂ имеют степени соответственно n₁, n₂, m₁, m₂, такие что n₁ + n₂ = n, m₁ n₁ — 1, m₂ n₂ — 1 и многочлен Q₂(x) не имеет кратных корней. Таким образом, Q₁(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q(x) и , следовательно, его можно найти, используя алгоритм Евклида. Из этого равенства, дифференцируя, получаем тождество, которое позволяет найти явное выражение многочленов P₁(x) и P₂(x).

 

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

a) :

б) или где – рациональная функция:

в) или

или : и

 

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Если , то , , y=t.

Подстановки Эйлера

1) a>0:

2) c>0:

3) a<0, c<0, D>0, x1<x<x2:

Выделение алгебраической части интеграла

Ф-ия наз алгебраической, если в D(f) она обладает тождеству вида:p_k(x)[f(x)]^k+ p_k-1(x)[f(x)]^k-1+…+ p₁(x)f(x)+ p₀(x)=0, где n>=1, nєZ, p_k, p_k-1,…,p₀,-некоторые многочлены, P_k(x)≠0.

Подинтегральную ф-ию алгебр преобраз всегда можно представить в виде суммы:R₁(x)/ +R₂(x), где R₁(x), R₂(x) –рац ф-ии.∫ R(x, ) можно привести к инт-лу вида: ∫R₁(x)/ dx. Разложив рац R₁(x) на сумму многочленов p_r(x) элем-ных дробей приходим к инт-лам след 3х видов:а)∫P_r(x)/ dx; б)∫1/((x-α)^k )dx, kєN; в)(Mx+N)/((x²+px+q)^m )dx, mєN.

 

Интегрирование дифференциальных биномов

1) p?Z Привести m и n к общ знаменателю λ(m=m’/ λ, n=n’/ λ)

Это инт-л от др-лин иррац => далее t=

2) (m +1)/n? Z

, λ – знаменатель p.

3) p+(m+1)/n? Z . λ – знаменатель p.

 

Понятие определённого интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости.

Опр Ф-ия f:[a;b]->R наз-ся инт-ой в смысле Римана на отрезке [a;b], если сущ конечный предел I интегральных сумм при , т.е. . Этот предел наз-ся инт-лом Римана для f на [a;b] и обозн

Условие: Если функция интегрируется в смысле Римана на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. НО не всякая ф-ия, ограниченная на отрезке, интегрируема на нем в смысле Римана.

 

Суммы Дарбу и их св-ва

Опр Нижней и верхней суммами Дарбу ф-ии f[a;b]->R, построенные для разбиения Т называются соответственно суммы

Св-ва:

1)

2) При измельчении разбиения Т нижняя сумма только увеличивается, верхняя – только уменьшается

3) Нижняя сумма не превосходит верхней, даже если они построены для разных разбиений

4) (эти числа – верхн и нижн инт-лы от f[a;b]->R)

Критерий Дарбу.

Для интегрируемости ограниченной f[a;b]->R в смысле Римана на отрезке [a;b] ó чтобы выполнялось условие или что тоже самое где - колебание функции на отрезке

Интегрируемость непрерывной функции.

Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке

 

Интегрируемость монотонной на отрезке функции

Если функция монотонна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке

Понятие о критерии Лебега.

Опр. Покрытие мн-ва Е – семейство мн-ва , что EcV, т.е.

Опр. Мн-во счётное, если можно установить взаимооднознач соотношение между его элементами

Опр. Мн-во ЕcR имеет лебегову меру ноль, если такое покрытие мн-ва Е с конечным или счётным семейством интервалов, что сумма длин любого кол-ва интервалов

Т. Для того, чтобы огр ф-ия f:[a;b]->R была инт-ма в смысле Римана ó чтобы мн-во всех её точек имело лебегову меру ноль.

Сл-вие Ф-ия, имеющая на отрезке конечное мн-во точек разрыва инт-ма в смысле Римана на это отрезке

Сл-вие Изменение значений ф-ии f:[a;b]->R на конечном мн-ве точек не влияет ни на инт-ость ф-ии, ни на величину