Глава. Интегральное исчисление функций одного переменного

Глава. Интегральное исчисление функций одного переменного

 

Определение и свойства неопределённого интеграла

 

Первообразная и неопределенный интеграл

 

К числу важных задач механики относятся задача о нахождении закона движения материальной точки по ее заданной скорости, а также задача об нахождении закона движения и скорости материальной точки по ее заданному ускорению. Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции.

 

Определение. Функция называется первообразной для функции на промежутке X, если в каждой точке из промежутка X:

1) является дифференцируемой (при этом если точка - конец промежутка , то в ней должна существовать соответствующая односторонняя производная);

2) .

 

Пример. Для функции первообразной является, например, функция . Очевидно, что функция -также ее первообразная.

 

Следующее утверждение сразу следует из определения первообразной:

Лемма 1. Если – некоторая первообразная для функции , то также является первообразной для функции .

 

Верно и обратное утверждение:

Лемма 2. Пусть и – две первообразные для функции на промежутке X. Тогда они отличаются только на константу,

то есть .

Доказательство. Найдем производную от разности этих первообразных:

. Тогда, по теореме об условиях постоянства функции на промежутке, .

 

Следствие. Если – некоторая первообразная функции на промежутке X, то { , где C – произвольная константа} – это множество всех первообразных функции на промежутке X.

Определение. Неопределённый интеграл функции – это множество всех первообразных для неё. Он обозначается символом .

 

Из этого определения и предыдущего следствия видим, что
= { , где C – произвольное действительное число, – некоторая первообразная функции }. Обычно это записывают короче: , где .

 

 

Свойства неопределённого интеграла

1) .

2) .

3) при .

4) .

 

Доказательство.

1). .

 

2). .

 

3). Пусть – первообразная для функции . Из свойств производной следует, что является первообразной для функции . Тогда

, (1)

. (2)

Так как и – произвольные константы, то – тоже произвольная константа. Поэтому правые, а, значит, и левые части в равенствах (1) и (2) равны.

 

4). Пусть – первообразная для ; – первообразная для . Тогда – первообразная для . Поэтому выполняются равенства

(3)

. (4)

Так как , , – произвольные константы, то в равенствах (3) и (4) правые, а, значит, и левые части равны. ■

 

Первые два свойства неопределённого интеграла говорят о том, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Третье и четвертое свойства означают, что операция интегрирования линейна. Свойства 1), 3) и 4) используются для вычисления интегралов.

 

Таблица основных неопределенных интегралов

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

 

Некоторые, наиболее простые интегралы можно вычислять, пользуясь только таблицей и свойствами.

Пример 1. Вычислить интеграл .

В числителе дроби прибавим и вычтем 1, затем, поделив почленно, получим разность двух табличных интегралов:

;

Пример 2. Вычислить интеграл .

Применим тригонометрическую формулу понижения степени: . Затем вынесем постоянный множитель за знак интеграла и получим сумму двух табличных интегралов:

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Числитель подынтегральной дроби, в силу основного тригонометрического тождества, представим в виде: . Затем поделим дробь почленно и получим сумму двух табличных интегралов:

.

 

Однако, в большинстве случаев для вычисления интегралов необходимы дополнительные методы. Основные из них – это метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах

 

Интегрирование рациональных функций.

 

Рациональная функция – это отношение двух многочленов .

Интегрирование иррациональных функций

 

Интеграл от иррациональной функции сводится к вычислению

интеграла от рациональной функции путём замены переменной.

Рассмотрим многочлен от двух переменных степени не превосходящей натурального числа :

. Отношение двух таких многочленов

– это рациональная функция от двух переменных.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы иррациональностей.

Подстановки Эйлера.

 

Подстановки Эйлера используются для вычисления интеграла вида

Он рационализируется в трёх случаях.

 

1 случай: a > 0.

В этом случае делаем замену = , где перед слагаемыми и могут стоять произвольные знаки плюс или минус. Возводим обе части последнего равенства в квадрат и выражаем старую переменную через новую переменную:

Затем находим значение корня и дифференциала через новую переменную

Подставляя все в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции

.

 

2 случай: c > 0.

В этом случае делаем замену .

Возводим обе части последнего равенства в квадрат и выражаем старую переменную через новую переменную:

Затем находим значение корня и дифференциала через новую переменную

Подставляя все в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции.

 

3 случай: .

Уравнение имеет два различных действительных корня

и _.

В этом случае делаем замену = .

Возводим обе части последнего равенства в квадрат и выражаем старую переменную через новую переменную:

Затем выражаем через новую переменную значение корня и дифференциала

Подставляем эти выражения в исходный интеграл и вычисляем интеграл от рациональной функции.

 

Пример 4.

Вывести формулу для вычисления табличного интеграла .

Коэффициент при положительный, значит подходит первый случай.

Сделаем замену . Возведем в квадрат и выразим старую переменную через новую переменную

Затем выражаем через новую переменную значение корня и дифференциала

Подставив эти выражения под интеграл, получим табличный интеграл

 

Пример 5. Вычислить интеграл .

В данном примере подходит и первый и второй случаи. Применим вторую подстановку Эйлера, сделаем замену .

Возведем в квадрат , затем поделим на , получим

. Отсюда выражаем старую переменную, затем корень и дифференциал через новую переменную.

Подставим полученные выражения в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной функции

Подынтегральная дробь является правильной, её нужно представить в виде суммы простейших дробей , затем проинтегрировать эти дроби.

Определенный интеграл

 

Определение.

Если существует конечный предел интегральных сумм при , и этот предел на зависит ни от выбора разбиения, ни от выбора точек внутри каждого частичного отрезка разбиения, то такой предел называется определённым интегралом Римана от функции на отрезке

.

– класс функций, интегрируемых по Риману на отрезке .

 

Задача о массе стержня.

 

Рассмотрим сначала однородный стержень длины L, имеющий постоянную линейную плотность P. Тогда масса стержня находится по формуле

.

 

Пусть теперь стержень неоднородный, имеющий длину L и переменную линейную плотность. Выведем формулу для массы такого стержня. Расположим стержень на оси . Начало стержня обозначим точкой , конец стержня в точке . Плотность стержня в точке обозначим . Рассмотрим случай, когда функция непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок на конечное число частей точками . Обозначим через массу стержня, соответствующую частичному отрезку разбиения

. Тогда масса стрежня равна сумме масс всех таких его частей . Если части достаточно маленькие, то функция в силу непрерывности не может сильно измениться на отрезке , поэтому на каждом таком отрезке функцию можно считать постоянной, и равной значению в любой точке отрезка. Выберем внутри каждого отрезка точку . Будем считать плотность стержня на отрезке постоянной и равной . Тогда верно приближенное равенство

. Масса всего стержня тогда приблизительно равна

.

Если длину наибольшего из частичных отрезков разбиения устремить к нулю, то приближенное равенство для массы становится точным и верна формула

.

 

Свойства сумм Дарбу

1) Для одной и той же функции и конкретного разбиения верхняя сумма Дарбу всегда не меньше, чем нижняя: .

 

2) При измельчении разбиения, то есть при добавлении новых точек к исходному разбиению, верхние суммы Дарбу для одной и той функции

не увеличиваются, а нижние суммы Дарбу не уменьшаются.

 

3) Для одной и той же функции и любых разбиений и верхняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , не меньше, чем нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению :

.

 

Доказательства этих свойств можно найти в литературе.

 

Зафиксируем некоторое разбиение . Рассмотрим семейство всех верхних сумм Дарбу . В силу свойства 3) сумм Дарбу,

, то есть множество всех верхних сумм Дарбу ограничено снизу, поэтому существует конечная точная нижняя грань у этого множества и эта величина называется верхним интегралом Римана от функции по отрезку : .

Аналогично существует конечная точная верхняя грань у множества всех нижних сумм Дарбу и эта величина называется нижним интегралом Римана от функции по отрезку : .

 

Определение. Если верхний интеграл равен нижнему, то функция является интегрируемой по Риману на отрезке и интеграл Римана равен любому из этих значений. То есть из равенства

следует, что и выполняется равенство

.

 

Длина дуги

Понятие длины дуги

Пусть кривая задана уравнениями

.

Разобьем отрезок на конечное число частей точками

. Значению параметра на кривой

соответствует точка . Таким образом, каждое разбиение отрезка задает ломаную , вписанную в данную кривую.

Обозначим через длину этой вписанной ломаной. Тогда, по определению, длина кривой – это точная верхняя грань длин всевозможных вписанных в кривую ломаных .

Вычисление длины дуги

Рассмотрим общий случай, когда кривая задана параметрическими уравнениями

.

Обозначим через переменную длину дуги на отрезке .

Известна формула для дифференциала длины дуги

. Отсюда длина дуги, соответствующая изменению параметра на отрезке , вычисляется по формуле

(8.1)

Пример. Найти длину одной арки циклоиды.

Циклоида – это траектория фиксированной точки, находящейся на ободе колеса, катящегося без проскальзывания. Параметрические уравнения циклоиды

Одна арка задается изменением параметра . Найдем производные координатных функций: .

Упростим подынтегральное выражение в формуле для вычисления длины дуги

Подставляя в формулу и вычисляя интеграл, получаем:

.

Площадь плоской фигуры

 

Определение

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная в полярных координатах лучами и графиком функции .

 

Теорема. Если функция - непрерывна, то криволинейный сектор – квадрируемая фигура и площадь его находится по формуле

.

Доказательство.

Пусть – разбиение отрезка конечным набором точек

Тогда площадь криволинейного сектора разбилась на n частей. Обозначим через часть площади криволинейного сектора, ограниченного линиями , . Если мелкость разбиения достаточно мала, то приближенно равна площади обычного кругового сектора с углом и радиусом , где произвольная точка из интервала . Тогда верно приближенное равенство . А так как площадь криволинейного сектора равна , то получаем приближенное равенство

.

Здесь в правой части интегральная сумма Римана для функции .

Поскольку функция - непрерывна, то интегрируема и при интегральные суммы стремятся к интегралу Римана. Таким образом получаем формулу .

 

 

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли, задаваемой уравнением .

 

Перейдем к полярным координатам . Тогда уравнение кривой примет вид или .

Найдем область определения функции из условия .

Решая это неравенство, находим .

Функция имеет период , значит ее график симметричен относительно начала координат.

Так как , то график функции также симметричен относительно оси . В силу симметрии достаточно найти площадь части фигуры, расположенной в первой четверти

. Тогда площадь фигуры, ограниченной лемнискатой .

 

Вычисление объёмов

 

Телом назовём часть пространства, ограниченную замкнутой несамопересекающейся поверхностью. Понятие объема пространственного тела вводится аналогично понятию площади плоской фигуры.

Пусть – некоторое тело в пространстве. Его нижний объем определяется по формуле , где – множество всех многогранников, лежащих внутри . Верхний объем равен , где – множество всех многогранников, содержащих в себе .

 

Определение. Тело кубируемо, если , тогда объем тела равен .

 

Критерий кубируемости. Тело F кубируемо тогда и только тогда, когда для любого найдутся многогранники и такие что и .

Доказательство проводится аналогично доказательству критерия квадрируемости.

Пример. Пусть - прямая призма, то есть тело, у которого верхнее основание получено из нижнего основания сдвигом на вектор , перпендикулярный нижнему основанию (при этом, конечно, фигуры и равны). Докажем, что если основание квадрируемо, то сама призма кубируема, и ее объем вычисляется по формуле , где – высота призмы, то есть длина вектора .

Доказательство. Зафиксируем . Так как фигура квадрируема, то по критерию квадрируемости для найдутся многоугольники и такие, что и . Многогранник с высотой и основанием лежит внутри призмы, а многогранник с основанием и высотой содержит призму. Тогда разность объемов внешнего и внутреннего многогранников .

Тогда, по критерию кубируемости, призма кубируема.

По определению объема . С другой стороны,

. Отсюда видно, что , что и требовалось доказать.

Объём тела вращения

Рассмотрим тело, которое получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , вокруг оси . Для вычисления его объема применим общую формулу объема тела через площадь поперечных сечений. В данном случае в сечении плоскостью получается круг радиуса . Тогда его площадь . Соответственно

– объем тела вращения вокруг оси .

Пример. Найти объём конуса радиуса и высотой .

Конус – это тело, которое можно получить вращением вокруг оси криволинейной трапеции под графиком линейной функции , где . Подставляя в формулу объема тела вращения, получаем

.

 

В случае вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси фигуры под графиком функции, заданной параметрическими уравнениями , формула имеет вид .

Пример. Найти объём тела, полученного вращением астроиды вокруг оси .

Параметрические уравнения астроиды

Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то можно считать только половину объема тела – это объем тела, полученного вращением части кривой, соответствующей изменению параметра

от до . Подставив в формулу вычисления объема, получим .

Сделаем в этом интеграле замену .

Пересчитаем пределы интегрирования: при ; при . Отсюда:

 

Удваивая полученный результат, получаем окончательный ответ .

 

Теоремы Паппа-Гульдина

 

Впервые эти теоремы нашел александрийский математик Папп в 3 веке н.э.

В эпоху средневековья многие достижения античной науки были в Европе утрачены. В 17-ом веке теоремы вновь открыл швейцарский математик Гульдин.

 

Первая теорема Паппа-Гульдина. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг не пересекающей её оси, равна произведению длины кривой на путь, проходимый центром тяжести этой кривой.

В случае вращения вокруг оси теорема записывается формулой

.

Доказательство. Рассмотрим случай плоской кривой, когда она задана явно уравнением . Ордината центра тяжести кривой находится по формуле . Подставив сюда формулу для нахождения статического момента и умножив это равенство на длину кривой , получаем

.

Затем домножим обе части этого равенства на :

.

В правой части этого равенства стоит площадь поверхности тела, образованного вращением кривой вокруг оси .

В левой части равенства стоит произведение длины кривой на длину окружности , которую описывает центр тяжести. Теорема доказана.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести полуокружности радиуса с центром в начале координат, расположенной в верхней полуплоскости.

 

В силу симметрии абсцисса центра тяжести . Найдем ординату центра тяжести, используя первую теорему Паппа-Гульдина. Поверхность, образованная при вращении кривой вокруг оси , является сферой, ее площадь . Длина кривой равна половине длины окружности . Подставив эти значения в формулу , найдем ординату центра тяжести .

 

Пример 2. Найти площадь поверхности вращения полуокружности вокруг касательной, параллельной её диаметру.

 

Используем результат, полученный в предыдущем примере. Ордината центра тяжести полуокружности .

Тогда радиус окружности, описываемой центром тяжести при вращении полуокружности вокруг касательной, равен . Из первой теоремы Паппа-Гульдина имеем формулу . Отсюда искомая площадь поверхности

.

 

Вторая теорема Паппа-Гульдина. Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг не пересекающей её оси, равен произведению площади фигуры на путь, проходимый центром тяжести этой фигуры. В случае вращения вокруг оси теорема записывается формулой

.

Доказательство. Рассмотрим случай плоской кривой, когда она задана явно уравнением . Фигура под графиком этой кривой является криволинейной трапецией. Ордината центра тяжести плоской фигуры находится по формуле . Применяя формулу для вычисления статического момента , получаем . Домножим на число обе части этого равенства:

.

В правой части стоит объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси . Левая часть является произведением площади фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры.

Теорема доказана.

 

Пример 3. Найти координаты центра тяжести полукруга радиуса R с центром в начале координат, расположенного в верхней полуплоскости.