Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Извлечение корня из комплексного числа.Содержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме . Запишем его корень также в тригонометрической форме записи По определению корня имеем . Возводя в степень по формуле Муавра, получаем . Отсюда находим модуль корня и аргумент ; . Итак, корень степени n из комплексного числа извлекается по формуле
где
Для любого комплексного числа различных корней степени n ровно n штук. Все они расположены на окружности с центром в начале координат с радиусом и делят эту окружность на n равных частей. Пример 2. Вычислить . Запишем число i в тригонометрической форме . Применим формулу извлечения корня из комплексного числа при . Подставляя получаем различные значения корня
Извлечение корня квадратного из комплексного числа в алгебраической форме записи.
Запишем квадратный корень из числа в алгебраической форме . Возведем это равенство в квадрат: Приравнивая действительные и мнимые части, а также, учитывая, что модуль числа равен квадрату модуля его корня, получаем систему Решая эту систему, находим , откуда .
Пример 3. Вычислить . Действительная и комплексная части равны a=3 и b=4. Вычислим по найденной формуле действительную и комплексную части его корня Итак, .
Многочлены. Разложение на множители.
Рассмотрим многочлен степени n с комплексными коэффициентами от комплексной переменной , где комплексная переменная; комплексные числа. Любой многочлен можно поделить на многочлен с остатком, то есть представить в виде где – делитель, – остаток, – частное.
Определение. Число z0 называется корнем многочлена , если =0.
Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, если делится нацело на .
Доказательство. Необходимость. Пусть – корень многочлена . Поделим на многочлен с остатком: , где R – число. Положим в этом равенстве . Так как – корень, то , следовательно и делится нацело на . Достаточность. Пусть делится на без остатка, тогда . Подставляя в это равенство , получаем , следовательно, по определению, является корнем многочлена .
Определение. Число – корень многочлена кратности k , если многочлен можно представить в виде , где не является корнем многочлена , то есть .
Утверждение. Число является корнем кратности k многочлена тогда и только тогда, если является корнем этого многочлена и всех его производных до порядка включительно, то есть а .
Доказательство. Необходимость. Пусть известно, что , где . Очевидно, что , то есть является корнем многочлена. Покажем, что является корнем производных многочлена до порядка включительно. Вычислим производную порядка по формуле Ньютона-Лейбница При все слагаемые в правой части в точке будут равны нулю, и тогда . Если же , то в точке все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Последнее же слагаемое отлично от нуля в силу условия . Отсюда Достаточность. Разложим многочлен в точке по формуле Тейлора Так как первые k слагаемых в правой части обращаются в ноль, то многочлен можно представить в виде . При этом многочлен в точке в ноль не обращается, так как по условию. Тогда будет корнем кратности k по определению.
Основная теорема алгебры (без доказательства). Пусть многочлен от комплексной переменной степени n, с комплексными коэффициентами. Тогда он имеет ровно n корней и его можно представить в виде , где – корень кратности
Лемма 1. Если z0 – корень кратности k многочлена , то сопряжённое число является корнем кратности k для сопряженного многочлена .
Доказательство. Если z0 – корень кратности k многочлена , то многочлен можно представить в виде , где . Возьмём сопряжённое к левой и правой частям последнего равенства . По свойствам сопряжённых чисел имеем . В левой части этого равенства стоит значение сопряженного многочлена в точке и оно представимо в виде где Положив в этой формуле , получим . Обозначим , тогда , где Это и означает, что – корень кратности k многочлена .
Лемма 2. Пусть – многочлен с действительными коэффициентами, но от комплексной переменной. Если корень кратности k многочлена , то также является корнем кратности k многочлена .
Доказательство. По лемме 1 число является корнем кратности k сопряженного многочлена . Поскольку коэффициентымногочлена действительны, то сопряженный многочлен совпадает с самим многочленом и число является корнем кратности k многочлена . Теорема. Многочлен от действительной переменной с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных множителей и квадратных с отрицательным дискриминантом: , где – действительный корень кратности ; ; .
Доказательство. Рассмотрим многочлен как многочлен от комплексной переменной . Тогда, по основной теореме алгебры, его можно представить в виде , где – корень кратности . Если - действительное число, то скобку не преобразовываем. Если то , где . По лемме 2, если – корень кратности для , то также корень кратности для . Сопряженное число запишется как , тогда произведение можно представить в виде степени, в основании которой лежит квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом так как . Таким образом, разложили многочлен в произведение линейных множителей и квадратных с отрицательным дискриминантом. Положив , получим искомое разложение для .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 770; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.11.13 (0.007 с.) |