Уточнение корня методом половинного деления.

Одним из вариантов метода проб является метод половинного деления. Он отличается тем, что на каждом следующем шаге отрезок делится не на 10 частей, а на две. При этом получается последовательность отрезков [a₀,b₀]; [a₁,b₁];…;[a_n,b_n], удовлетворяющих условиям:

f(a_k)f(b_k)<0 (k=0,1,2,3,…)

b_k-a_k= (k=0,1,2,3,…)

a_k<x^*<b_k (k=0,1,2,3,…)

Процесс половинного деления прекращается в двух случаях:

когда середина одного из полученных отрезков окажется корнем уравнения;

когда получим отрезок, длина которого не превосходит заданной точности вычисления. Тогда за приближенное значение корня принимается число x*= с погрешностью, не превышающей .

Метод половинного деления не удобен для вычисления корня “безмашинным” способом, так как требуется выполнение большого объема вычислительной работы, но алгоритм решения этим методом очень прост и легко реализуется с помощью компьютера.

Рассмотрим решение этим методом уравнения x-cos(x)=0

Корень уравнения x-cos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]

16. в ячейку А2 занесите число «0», а в ячейку А4 – 1;

17. активизируйте ячейку D3 и занесите в неё формулу: =(А4-А2)/2, после чего нажмите на клавишу Enter;

18. активизируйте ячейку А3 и вставьте в неё формулу: =А2+А3, после чего нажмите на клавишу Enter;

19. активизируйте ячейку В2 и запишите формулу: =А2-cos(А2), нажмите на клавишу Enter;

20. автозаполнением заполните ячейки А3¸А4.

Таким способом будем продолжать процесс половинного деления, пока в ячейке В39 мы не обнаружим, что число бесконечно мало, т.е равно нулю 9см. рис. 15.5.

Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона).

Метод касательных, связанный с именем И.Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень на отрезке [a; b], дифференцируема на этом отрезке и ее производная f¢(x) не обращается на нем в нуль. Возьмем произвольную точку х₀ проведем касательную к графику функции f(x) в этой точке и запишем уравнение касательной:

y=f(x₀)+f¢(x₀)(x-x₀) (7)

 

Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс – х₁. Для определения координаты этой точки можем использовать уравнение

f(x₀)+f¢(x₀)(x-x₀)=0

Таким образом,

x₁=x₀- (8).

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точке х₁ и найдем точку пересечения этой касательной с осью Ох (см. рис.1):

х₂=x₁-

Продолжая этот процесс, получим последовательность {х_n}, определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1=x_n- , n=0,1,2,… (9).

При исследовании этой последовательности снова возникают два вопроса:

1) Можно ли процесс вычисления чисел x_n продолжать неограниченно, иными словами, будут ли получившиеся значения принадлежать отрезку [a;b]?

2) Если процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность {х_n} при n®¥?

Оказывается, что если значение х близко к искомому корню, то справедлива теорема о сходимости последовательности (9).

Применим данный метод для решения уравнения (2).

Итак, f(x)=x-cosx, рекуррентная формула имеет вид:

x_n+1=x_n- , n=0,1,2,… (10).

Выберем, как и ранее в качестве нулевого приближения х₀=0,5 и вычислим несколько следующих приближений по формуле (10) с помощью программы Excel.

21. Активизруйте ячейку В14 и занесите в неё число 0,5;

22. в ячейке D14 запишите формулу: =В14-((B14-COS(B14))/(1+SIN(B14))), после чего нажмите на клавишу Enter;

23. в ячейку В15 занесите: =D14, и нажмите на Enter;

24. автозаполнением заполните ячейки B16¸D24.

Результаты вычислений представлены на рис. 15.7

Из рисунка видно, что, начиная с номера n=1, последовательность {х_n} убывает и приближается к корню х= с сверху. После четвертого шага процесс останавливается. Остановка связана с тем, что расчеты ведутся с 12 знаками, и после достижения погрешности, не превышающей 10^-12, становится невозможно уловить разницу между x_n+1 и x_n, лежащую за пределами ошибки округления.

5. Уточнение корня методом хорд.

Пусть корень уравнения (3) отделен на отрезке [a, b], функция f(x) – непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. График функции y=f(x) проходит через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)). Запишем уравнение хорды АВ:

Если у=0, то х=с₁ – абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох, может быть найдена по формуле:

c₁=a - (11).

Теперь возьмем на данной кривой точку А₁(c₁,f(c₁))

y B

 

a=c₀ c₁ c₂ b

 

A₂

A₁

A Рис. 15.8

 

Найдем абсциссу с₂ точки пересечения хорды А₁В с осью Ох

с₂=с₁ -

…………………………

c_n+1=c_n -

При возрастании числа n значение c_n приближается к истинному значению корня. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенного значения корня с заданной точностью.

Мы рассмотрели случай, когда «перемещается» левая граница отрезка [a, b]. Возможен и другой вариант, в этом случае формулы (11-12) имеют вид:

Возможны следующие четыре типа расположения дуги кривой АВ:

1. Функция убывает, график – вогнутая кривая

 

 

f¢(x)<0, f¢¢(x)>0

 

 

2. Функция убывает, график – выпуклая кривая

 

 

 

f¢(x)<0, f¢¢(x)<0

 

 

3. Функция возрастает, график – вогнутая кривая

 

f¢(x)>0, f¢¢(x)>0

 

4. Функция возрастает, график – выпуклая кривая

 

 

f¢(x)>0, f¢¢(x)<0

 

Из рисунков видно, что формулы (11-12) применяются в случаях (2) и (3), то есть тогда, когда f¢(x)×f¢¢(x)<0, а формулы (13) применяются в случаях (1) и (4), то есть тогда, когда f¢(x)×f¢¢(x)>0.

Методами математического анализа доказывается, что если f¢(x) и f¢¢(x) сохраняют знак на отрезке [a, b], то последовательность с₁,с₂,…c_n,… сходится и ее предел равен истинному значению корня.

Рассмотрим решение эти методом уравнения x-cosx=0. Корень уравнения x-cosx=0 будем искать на отрезке [0, 1]

f¢(x)×=1+sin(x))>0, f¢¢(x)=cos(x))>0 на отрезке [0, 1], то есть имеет место (3) случай, поэтому применяем формулы (11-12), получаем:

С1	0,685073
С2	0,736299
С3	0,738945
С4	0,739078
С5	0,739085
С6	0,739085

Из таблицы видно, что, начиная с номера n=1, последовательность {с_n} возрастает и приближается к корню х= с снизу. После пятого шага процесс останавливается. Остановка обусловлена теми же причинами, что и в предыдущем методе.

Уточнение корня комбинированным методом хорд и касательных.

Рассмотренные методы решения уравнений удобнее применять в сочетании друг с другом. Например, хороший результат дает комбинация методов хорд и касательных. При этом в случаях (1) и (4) метод хорд дает приближенное значение корня с избытком, а метод касательных – с недостатком, а в случаях (2) и (3) наоборот.

Рассмотрим решение этим методом уравнения x-cos(x)=0. Корень уравнения x-cos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]. Как сказано ранее, имеет место 3 случай, поэтому применяем формулы (11-12) и формулы (9). Получим

 

a	b
0,685073	0,750364
0,738948	0,739113
0,739085	0,739085

Рис. 15.9

Из таблицы видно, что результат достигается уже на третьем шаге.

 

Задания для самостоятельной работы.

1) Применяя метод проб, найдите корень уравнения с точностью до 0,1:

х⁴ – 0,5х – 1=0.

Ответ: -0,9; 1,2.

2) Применяя метод проб, найдите корень трансцендентного уравнения с двумя верными десятичными знаками:

3) Найдите корень уравнения комбинированным методом хорд и касательных с точностью до трёх десятичных знаков:

a) x⁶+2x – 1=0 (положительный корень) ответ: 0,492

b) х²+lgx=5; ответ: 2,160

c) x+arctg x=10; ответ: 8,546

d) 3x+sin x=7. ответ: 2,035