Лабораторная работа №4. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любого столбца.

 

Вычисление определителей основано на формуле разложения определителя по элементам столбца:

D = а _{1 j} A_{1 j} + a _{2 j} A_{2 j} + … + a_mj A _mj (1)

Учитывая связь между алгебраическими дополнениями и минорами:

A _ij = (-1) ^i+j M _{ij ,}

можно записать:

D = а _{1 j} (-1)^{1+ j} M_{1 j} + a _{2 j} (-1)^{2+ j} M_{2 j} + … + a_mj (-1) ^m+j M _mj (2)

С помощью этой формулы вычисление определителя m -го порядка D сводится к вычислению ряда определителей (m - 1)-го порядка - миноров M_{1 j ,} … M _mj. Каждый из этих определителей, в свою очередь, можно свести к определителям (m - 2)-го порядка, эти последние - к определителям порядка m - 3 и т.д. В конечном счёте, вычисление D сводится таким путём к вычислению ряда определителей 3-го порядка или, при желании, даже 2-го. Последние вычисляются непосредственно.

Пусть нам дан определитель 4-го порядка, имеющий следующий вид (см. выше),

который можно вычислить разложением его по элементам столбца.

Разложим наш определитель по первому столбцу. Запишем процесс разложения определителя 4-го порядка по 1-му столбцу, используя формулу (2) в программе Word, а процесс вычисления будем производить в электронной таблице Excel, функционирующих в операционной системе Windows.

Формулу (4) необходимо переписать на экран компьютера, для чего нужно войти в программу Word, после выполнения следующих операций:

1. Включите компьютер.

2. Подождите, пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно Microsoft Word.

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3. 0.

4. Перепишем формулу (4) в формульном редакторе. Для этого:

· вставьте шаблон определителя 4-го порядка в формульном редакторе: выполните нажатие ЛКМ в ШАБЛОНЕ СКОБОК на шаблон , а в ШАБЛОНЕ МАТРИЦ на шаблон .

· Занесите числовые значения элементов определителя 4-го порядка в свободные поля.

· С клавиатуры занесите знак «=» и число 2, после чего выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОПЕРАТОРЫ и выберите шаблон вида .

· Запишите число (-1)¹⁺¹, используя шаблон верхних индексов.

· Повторением предыдущих операций запишите всю формулу (4) в редакторе формул.

· Используя программу Word, мы вывели на экран компьютера вычислительный алгоритм (4), (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

 

В качестве вычислительного средства мы снова воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

5. Откройте окно MicrosoftExcel.

6. Перепишите формулу (4) из Word в Excel.

Подсчитаем 1-й множитель формулы (4). Для этого:

· активизируйте ячейку D9, после чего занесите с клавиатуры в неё формулу =2*степень(-1;2)*

· Выполните нажатие ЛКМ на кнопке МАСТЕР ФУНКЦИЙ ƒ_х и воспользуйтесь функцией МОПРЕД, выделяя область А6¸С8.

· Нажмите на клавишу Enter. результат см. на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Рис. 4.3

 

Аналогичным способом подсчитайте три оставшихся множителя формулы (4).

· Активизируйте ячейку Н13 и занесите в неё с клавиатуры результат сложения всех четырёх множителей.

· Нажмите на клавишу Enter (см. рис. 4.3).

7. Произведём быструю проверку проделанных вычислений.

· Активизируйте ячейку D5;

·

Рис. 4.4

воспользуйтесь функцией МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х (выполните нажатие ЛКМ на 1-й элемент определителя, который находится в ячейке А1 и перетащите указатель мыши по главной диагонали до ячейки D4).

Результат вычислений появится в ячейке D5 (см. рис. 4.4), который подтверждает правильность предыдущих вычислений.

Задания для самостоятельной работы.

Вычислите следующие определители.