Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера.

Поиск

Пусть дана система n -линейных уравнений с n- неизвестными х1, х2,..., х n:

а 11х1+ а 12х2+...+ а 1 nхn = b 1,

(1)
а 21х1+ а 22х2+...+ а 2 nхn = b 2,

...............................

аn 1х1+ аn 2х2+...+ аnnхn = bn.

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.

Пусть А ij (i, j = 1, 2,..., n)– алгебраические дополнения элементов определителя D. Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А11, второе – на А21,..., n -е – на А n 1 и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А21, А22,..., А n 2 и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на А n 1, А n 2,..., А nn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:

(2)
1= b 1А11+ b 2 А21+...+ bn А n 1,

2= b 1А12+ b 2 А22+...+ bn А n 2,

.......................................,

n = b 1А1 n + b 2 А2 n +...+ bn А nn.

Правые части уравнения системы (2) обозначим соответственно символами D1, D2,..., Dn, где

Тогда система уравнений (2)примет вид:

(4)
1=D1,

2=D2,

............,

n =D n.

Если D¹0, то из этих уравнений находим

Полученные формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).

Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует

Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.

Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.

Решим следующую систему уравнений с 4-мя неизвестными:

1+5х2+4х34=20,

х1+3х2+2х34=11,

1+10х2+9х3+7х4=40,

1+8х2+9х3+2х4=37.

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных данной системы D= -3, отличен от нуля, поэтому к системе применимо правило Крамера. Используя редактор формул, запишем определители D1, D2, D3 и D4, используя формулу (3).

Для этого:

1. Включите компьютер.

2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Word.

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3. 0.

4. Запишем определитель D1 в формульный редактор. Для этого:

·

Рис. 9.1
запишите D1, используя шаблон нижних индексов ;

· вставьте шаблон определителя 4-го порядка в формульном редакторе;

· занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул определители D2¸D4 (см. рис. 9.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

5. Откройте окно MicrosoftExcel.

6. Перепишите определители D, D1, D2, D3 и D4, из Word в Excel (см. рис. 9.2).

Рис. 9.2 Рис. 9.3

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒх на стандартной панели, найдите, чему будут равны все пять определителей (см. рис. 9.3)

Получаем, что D= -3, D1= -3, D2= -6, D3= -6 и D4= -1,11Е-14. Так как результат вычислений определителя D4 записан в виде числа с мантиссой, следовательно, поменяем формат ячейки Е25 на ДРОБНЫЙ, после чего определитель D4 станет равным нулю.

8. Найдём неизвестные х1, х2, х3, х4. Для этого:

· активизируйте ячейку G10 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х1=1;

· активизируйте ячейку G15 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х2=2;

· активизируйте ячейку G20 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х3=2;

· активизируйте ячейку G25 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х4=0.

Задания для самостоятельной работы.

 

Пользуясь методом Крамера, решить следующие системы уравнений:


 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 406; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.42.59 (0.05 с.)