Лабораторная работа №7. Умножение матриц.

Произведение матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пусть даны матрица А размера [ п х т ] и матрица В размера [ т х р ].

Произведением двух матриц А и В, заданных в определённом порядке (А - первая, В - вторая), называется матрица С размера [ п х р ], элементы с _ij которой определяются по следующему правилу: элемент i -й строки и j- го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В (рис.43), т.е.

c _ij = a_i1b_{1 j} + a_i2b_{2 j} + … + a_imb_mj =

i = 1, 2, …, n; j = 1,2, …, p.

Произведение матриц А и В, взятых в указанном порядке, обозначается А·В или АВ.

Рис.43

Произведением двух прямоугольных матриц является снова прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы. Из определения умножения матриц видно, что если возможно умножение матрицы А на матрицу В, то отсюда не следует возможность умножения матрицы В на матрицу А. Умножение матриц не обладает свойством перестановочности, поэтому если оба произведения АВ и ВА имеют смысл, то АВ может не совпадать с ВА. В том случае, когда оба произведения АВ и ВА определены и выполняется равенство АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

Свойство 1. А(ВС)=(АВ)С

Свойство 2. "lÎÂ(l(АВ)=(lА)В=А(lВ))

Свойство 3. С (А+В)=СА+СВ

Свойство 4. (А+В)С=АС+ВС

Свойство 5. (АВ)^Т=В^ТА^Т , где А,В,С – матрицы, а l – число, а А^Т это матрица, полученная из матрицы А в результате транспонирования.

Пусть нам даны две матрицы А и В, где матрица А имеет размерность [5х6], а матрица В имеет размерность [6х7].

Тогда, используя формулу (1) получаем:

где с11= 4*(-5)+4*0+(-1) *2+0*6+(-1) *5+8* (3)= -3;

с12= 4*(-7)+4*0+(-1)*0+0*4+(-1) *(-4)+8* 0= -24;

…………………………………………………….

…………………………………………………….

с56= 1*16+7*0+6*0+6*(-5)+5 *6+7* 0 = 16;

с57= 1*1+7*4+6*1+6*5+5 *1+7* 1 = 77.

 

Как видно из примера, вычисление элементов матрицы представляет собой громоздкий процесс, поэтому здесь для подсчёта элементов матрицы С удобно воспользоваться программой Excel. Матрицы А и В необходимо переписать на экран компьютера, для чего войдите в программу Word – 97, после выполнения следующих операций:

1. Включите компьютер.

2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Word.

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3. 0.

4. Перепишем матрицы А и В в формульном редакторе. Для этого:

· Вставьте шаблон матрицы А в формульном редакторе, используя в ШАБЛОНЕ СКОБОК шаблон вида , а в ШАБЛОНЕ МАТРИЦ шаблон вида (в окне СТОЛБЦОВ выберите число 6, а в окне СТРОК – число 5).

·Выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОПЕРАТОРЫ и выберите шаблон вида .

· Вставьте шаблон матрицы В в формульном редакторе, используя в ШАБЛОНЕ СКОБОК шаблон вида , а в ШАБЛОНЕ МАТРИЦ шаблон вида (в окне СТОЛБЦОВ выберите число 7, а в окне СТРОК – число 6) см. рис. 7.1.

Выполним вычисления. Для этого воспользуемся инструментами программы Excel.

5. Откройте окно MicrosoftExcel.

6. Перепишите матрицы А и В из Word в Excel (см. рис. 7.2).

Рис. 7.1 Рис. 7.2

7. Чтобы подсчитать элементы матрицы С, воспользуемся функцией СУММПРОИЗВ, которая находится в мастере функций ƒ_х и перемножает все компоненты двух массивов, а затем складывает полученные произведения.

Но вышесказанную операцию функция может осуществить, если аргументы, которые являются массивами, имеют одинаковые размерности. В нашем примере матрицы А и В имеют разные размерности. Поэтому, чтобы воспользоваться данной функцией, прежде транспонируем матрицу В. Для этого:

· активизируйте ячейку А7;

· выполните нажатие ЛКМ на ячейке А7 и перетащите курсор по главной диагонали до ячейки G12;

· отпустите левую кнопку мыши, при этом область А7¸G12 окажется выделенной.

& Далее в тексте задачника будем обозначать: выделите область...

·Выполните нажатие ПКМ, после чего на экране компьютера появится контекстное меню;

·выполните нажатие ЛКМ на слове КОПИРОВАТЬ (рис. 7.3);

· активизируйте ячейку А14;

·в строке меню выполните нажатие ЛКМ на кнопке ПРАВКА, а затем в открывшемся контекстном меню выполните то же самое действие на кнопке СПЕЦИАЛЬНАЯ ВСТАВКА (рис. 7.4);

·в открывшемся окне выполните нажатие ЛКМ на Транспонировать (рис. 7.5);

·выполните нажатие ЛКМ на ОК; результат см. на рис. 7.6.

Рис. 7.5 Рис.7.6

В результате проделанных действий на экране Excel появится матрица В^Т (рис. 7.6), при помощи которой мы сможем осуществить поставленную задачу.

8. Вычисления будем производить следующим образом:

· активизируйте ячейку А22;

· воспользуйтесь функцией СУМПРОИЗВЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ;

· для вычисления второго элемента 1-ой строки необходимо ввести в ячейку В22 следующие строки: и т.д.;

· формула вычисления 7-го элемента 1-ой строки будет иметь следующий вид: и т.д.;

· в ячейке А26 разместим 1-ый элемент последней строки матрицы С: ;

· в ячейке G26 окажется последний элемент последней строки матрицы С:

При этом в окне программы появятся следующие числа (рис. 7.7):

На рис. 7.7 элементы матрицы С располагаются в ячейках А22¸G26.

9. Быструю проверку проделанных вычислений произведём также в программе Excel. Для этого:

·

Рис. 7.7

активизируйте ячейку А28;

· выделите область А28¸G32;

· воспользуйтесь функцией МУМНОЖ, которая находится в мастере функций ƒ_х в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, где в окне Массив1 выделите область А1:F5, а в окне Массив2 выберите область А7:G12 (рис. 7.8);

Рис. 7.8 Рис. 7.9

на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 7.9). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.

 

& Это полезно знать!

Приложение Microsoft Excel в отличие от других приложений пакета Office обладает следующим свойством: если при решении задачи будут постоянно выполняться ссылки на ячейки, то в результате мы получим «шаблон» решения однотипных задач. Например, если при решении описанной выше задачи мы выполним транспонирование матрицы В не так, как описано в п. 7, а следующим образом:

1. Выделим область ячеек А22:G26;

2. воспользуемся функцией ТРАНСП, которая находится в мастере функций f_x в категории Ссылки и массивы в появившемся диалоговом окне в поле «Массив» выделим область A7:G12;

3. на клавиатуре одновременно нажмём комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.

Начиная с п.8 все действия остаются без изменения.

В результате, если нам снова придётся находить произведение матриц размерностей [5x6] и [6x7], то автоматически результаты будут выведены на экран. Например, при нахождении произведения матриц

промежуточные вычисления и результат разу же появляются в ячейках электронной таблицы (см. рис. 7.10).

 

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти произведения матриц в Excel.

2. Вычислить АВ и ВА, если