Лабораторная работа № 10. Решение систем линейных уравнений в матричном виде.

 

На практике часто бывает удобно применять матричный метод. Пусть дана система n -линейных уравнений с n- неизвестными х₁, х₂,..., х _n:

а ₁₁х₁+ а ₁₂х₂+...+ а _{1 n}х_n = b ₁,

а ₂₁х₁+ а ₂₂х₂+...+ а _{2 n}х_n = b ₂,

...............................

а_{n 1}х₁+ а_{n 2}х₂+...+ а_nnх_n = b_n.

Запишем её в матричной форме:

АХ=В,

где матрица А – составлена из коэффициентов при неизвестных, матрица В – из свободных членов, матрица Х – составлена из неизвестных х₁, х₂, х₃, х₄:

(1)

Тогда, если матрица А – невырожденная матрица, то

Х=А^-1В.

Решением матричного уравнения будем называть всякую матрицу соответствующего порядка, которая, будучи подставлена в матричное уравнение вместо матрицы Х, обращает уравнение в тождество.

Матричное уравнение имеет единственное решение если ΔА¹0 и неразрешимо или имеет бесконечное множество решений, если ΔА=0.

Решим следующую систему уравнений с 4-мя неизвестными, используя этот метод:

2х₁+5х₂+4х₃+х₄=20,

х₁+3х₂+2х₃+х₄=11,

2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40,

3х₁+8х₂+9х₃+2х₄=37.

Чтобы найти неизвестные х₁, х₂, х₃, х₄ по формуле (1), необходимо:

- составить матрицу А из коэффициентов при неизвестных;

- составить матрицу В из свободных членов;

- найти обратную для матрицы А матрицу А^-1;

- перемножить матрицы А^-1 и В.

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

1. Включите компьютер.

2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно MicrosoftExcel.

3. Заполните ячейки А1¸D4 таблицы значениями элементов матрицы А.

Рис. 10.1

4. Заполните ячейки F1÷F4 таблицы значениями элементов матрицы В (рис. 10.1).

5. Найдём матрицу А^-1 Для этого:

· выделите область А6¸D9;

· воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒ_х в КАТЕГОРИИ – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ (рис. 10.2)

· в окне Массив запишите область A1: D4;

·после чего одновременно нажмите на клавиатуре следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

 

Рис. 10.2

В результате получим обратную матрицу, значения элементов которой записаны в виде чисел с мантиссой, следовательно:

· поменяйте форматы ячеек А1¸D4 на ДРОБНЫЙ, после чего получим матрицу А^-1, имеющую следующий вид – см. рис. 10.3.

6. Теперь нам осталось найти неизвестные х₁, х₂, х₃, х₄.

·

Рис. 10.3

Выделите область F6¸F9;

· воспользуйтесь функцией МУМНОЖ, которая находится в мастере функций ƒ_х в КАТЕГОРИИ – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ;

·в окне Массив1 выделите область А6: D9, а в окне Массив2 выберите область F1: F4;

· после чего одновременно нажмите на клавиатуре следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

В результате х1=1, х2=2, х3=2, х4=2,13Е-14, поэтому поменяем формат ячейки F9 на ДРОБНЫЙ, после чего х4 – будет равно нулю (см. рис. 10.4).

Рис. 10.4

Задания для самостоятельной работы.

Используя матричный метод решения систем уравнений, решить следующие системы: