Кратность корней. Нахождение кратности корня с помощью схемы Горнера

Пусть разложение полинома на линейные множители

Среди могут быть совпадающие. Если они есть, то

(10.1)

где , а среди нет совпадающих.

Определение 10.2. Если , то корень называется кратным корнем кратности , если то корень называется простым.

Задача 2. Имеет ли данный полином кратный корень? Если да, то какова его кратность?

Теорема 10.1. Пусть - кратный корень кратности полинома . Тогда является кратным корнем кратности .

где , ,

Замечание 10.2. можно также найти по алгоритму Евклида.

Итак, для того, чтобы ответить на вопрос «имеет ли данный полином кратный корень?», необходимо найти . Если , то «нет», иначе – «да».

Если корень λ полинома известен, то его кратность можно найти с помощью схемы Горнера.

Чтобы ответить на вопрос «какова кратность корня?», построим последовательность:

имеет только простые корни; эти корни будут корнями кратности r полинома .

Упражнение 10.1.

можно найти корни. Они будут кратными корнями .

Способ нахождения всех кратных корней

Если уравнение достаточно большей степени и его решить не удается, то построим последовательность:

т. к.

Так продолжаем до тех пор, пока не найдется :

Все корни полиномов – простые, однако, среди корней полинома нет простых корней полинома (т. к. для простых корней полинома имеем , а в полином входят корни, для которых ); среди корней нет корней кратности 2 полинома и т. д.

Следовательно, найдя полиномы

получим полиномы , корни которых простые и являются корнями кратности j полинома , и представление:

Замечание 10.3. Если поделить на , то уйдут те простые корни , которые содержатся в , следовательно, останутся только те, которые в последующих членах ряда , , не содержатся, следовательно, кратность этих корней в полиноме равна 1. Если поделить на , то останутся корни кратности j в полиноме .

Замечание 10.4. Этот способ определения кратности корней, их существования, используется в случае, когда сложно разложить на линейные множители.

Пример 10.2.

- кратность 2, - кратность 1.

Замечание 10.5. Таким образом, схема Горнера используется:

1) для вычисления при

2) для вычисления полинома при делении на линейный множитель

3) для вычисления производных

4) для разложения по степеням

5) для определения кратности корня полинома .

Д/з: П 541, 544 (b), 545 (d), 547, 548 (b), 549, 551, 588, 591, 631(b, c), 634 (b), 636 a), 638, 639 (a, b, c).

Занятие 9. Решение уравнений 3-й и 4-й степени

Решение уравнений 3-й степени

Рассмотрим уравнение

(разделив, если надо, на ). Заменим

Пусть и

Обозначим

(9.1)

Положим , где пока неизвестные величины

(9.2)

Пусть удовлетворяют уравнению

(9.3)

Тогда из (9.2)

По теореме Виета неизвестные и удовлетворяют квадратному уравнению:

Решая его, получим

Отсюда

(9.4)

Определение 9.1. Величина называется дискриминантом кубического полинома (9.1)

Формула Кардано

Так как в этой формуле может принимать три значения и тоже три значения, то всевозможных комбинаций может быть девять, а может быть всего три, в силу дополнительной связи (9.3). Если определим из (9.4), то

Тогда

Вспоминая, что

(9.5)

получим

(9.6)

т. е. равно произведению какого-то корня на всё множество кубических корней из 1: где

Соответствующие значения для :

Так как

и

то, подставив полученное значение и в соответствующие значения для , получим:

.

Тогда

где

Пример 9.1. П 75 о).

Таким образом,

Упражнение 9.1. П 75 j), n).

Решение уравнений 4-й степени

Общий вид уравнения 4-ой степени

Первые два члена можно преобразовать:

Сделаем замену ,тогда

Введем вспомогательную переменную :

Для того чтобы получить разность квадратов, достаточно воспользоваться введенной переменной так, чтобы получить из второго слагаемого квадрат, а это возможно тогда и только тогда, когда

Пусть - один из корней кубического уравнения. Тогда наше уравнение можно переписать так:

при некоторых и

Приравнивая к нулю каждый из сомножителей, найдем 4етыре корня исходного уравнения.

Уравнение 9.2. П 75j), n); 79 i), j).

Д/з: П 75 (а, b, c), 79 a), 80.

Занятие 12. Полиномы над полем . Приводимость. Полиномы над полем

12.1. Решение уравнений -й степени

Теорема №1

Если f(x) имеет корень равный , такой, что , то f(x) имеет сопряжённый корень .

Упражнение №587(a)

a) (x-1)²*(x-2)*(x-3)*(x-(1+i))*(x-(1-i)) =

= (x²-2x+1)*(x²-5x+6)((x-1)+i)*((x-1)-I)=

= (x⁴-2x²+x²-5x³+10x²-5x+6x²-12x+6)*((x-1)²-i²) =

= (x⁴-7x³+17x²-17x+6)*(x²-2x+1+1) =

= (x⁴-7x³+17x²-17x+6)*(x²-2x+2) =

= x⁶-7x⁵+17x⁴-17x³+6x²-2x⁵+14x⁴-34x³+34x²-12x+2x⁴-14x³+34x²+12 =

= x⁶-9x⁵+33x⁴-65x³+74x²-46x+12.