Занятие 8. Полиномы. Действия над полиномами. Схема Горнера

Занятие 8. Полиномы. Действия над полиномами. Схема Горнера

Полиномы. Определение

Определение 8.1. Многочленом (полиномом) называется функция

Определение 8.2. Говорят, что полином имеет степень n, если . Обозначение: .

Определение 8.3. Два полинома называются тождественно равными, если при всех где и .

Теорема 8.1. Два полинома тождественно равны тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

Действия над полиномами

Для полинома определяются операции сложения и умножения:

Упражнение 8.1. Найти многочлены .

Схема Горнера. Вычисление значения полинома в точке

Задача 1. Как вычислить значение в точке наискорейшим образом?

При вычислении «в лоб», т. е. , потребуется раз возводить в степень, потом n раз умножать на и n раз складывать: действий. Попробуем считать по-другому:

И начинаем вычислять с самой внутренней скобки. Получаем 2 n операций. Именно этот алгоритм реализован в схеме Горнера.

где

Легко видеть, что .

Пример 8.1.

Упражнение 8.2. 544а).

8.4. Схема Горнера. Вычисление корней полинома и нахождение полинома степени

Основная задача классической высшей алгебры – решение уравнений и систем уравнений. Рассмотрим уравнение

(8.1)

где

Определение 8.4. Уравнение (8.1) называется алгебраическим.

Определение 8.5. Значение называется корнем полинома (или уравнения (8.1)), если .

Упражнение 8.3. П 75p), .

Существует ли у уравнения (8.1) хотя бы один корень?

Теорема 8.2. (Основная теорема высшей алгебры). Уравнение (8.1) имеет, по крайней мере, один корень , в общем случае комплексный.

Определение 8.6. Выражение вида называется линейным множителем для многочлена .

Теорема 8.3. (Безу). Полином можно представить в виде

где .

Доказательство. Пусть и . Тогда

Как видим выражения для совпадают с выражениями в первой строке схемы Горнера

Пример 8.2.

Упражнение 8.4. Найти для П 75p), , .

Итак, если найден один корень уравнения (8.1), то можно понизить степень на 1 и рассматривать уравнение

Теорема 8.4. (Следствие к основной теореме высшей алгебры). Каждый полином можно представить в виде

(8.2)

И такое представление единственно.

Определение 8.7. Представление (8.2) называется разложением полинома на линейные множители.

Пример 8.3. В П 75p) разложить на линейные множители. В П 75p) такое представление

(как видим в таком представлении могут встречаться и одинаковые линейные множители)

Упражнение 8.5. П 582 d).

Теорема 8.5. (Виета). Пусть корни многочлена

равны , тогда

Пример 8.4.

Д/з: 544 b), 582, 618, 624 (а, b), 626.

Занятие 9. Деление полиномов. НОД. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД

Деление полиномов. НОД

Теорема 9.1. (О делении с остатком). Для полиномов и существуют и единственны полиномы и , такие что:

где .

Упражнение 9.1. П 539 а).

Имеется полная аналогия между множеством целых чисел и множеством полиномов.

Определение 9.1. Пусть . Тогда называется общим делителем .

Определение 9.2. НОД – полином наибольшей степени из бесконечного множества общих делителей.

Алгоритм Евклида

Как найти НОД?

I. Разложить оба многочлена на линейные множители.

Упражнение 9.2. П 588 а).

II. Алгоритм Евклида.

Пусть . Разделим на с остатком:

;

;

;

, где

или последний, не равный нулю остаток.

Упражнение 9.3. П 631 а).

Линейное представление НОД

Теорема 9.2. Пусть . Тогда существуют полиномы такие, что

Замечание 9.1. Найти и можно с помощью алгоритма Евклида аналогично тому, как искали линейное представление НОД для целых чисел.

Упражнение 9.4. П 632 а).

Теорема 9.3. Полиномы взаимно просты () тогда и только тогда, когда существуют два полинома такие, что

При этом будет выполняться

Упражнение 9.5. П 634 а).

Д/з: П 588, 641 d), c), 551, 541, 634 b), 636 a), 638.

Занятие 10. разложение полинома по степеням через схему Горнера. Кратные корни. Отыскание кратности корня с помощью схемы Горнера

10.1. Формула ТеЙлора, разложение полинома по степеням (через схему Горнера)

Любую раз дифференцируемую в точке функцию можно разложить в ряд Тейлора:

где , если - полином.

Определение 10.1. Назовем такое представление разложением по степеням .

Задача 1. Пусть имеется полином

Требуется разложить по степеням , т. е. найти неизвестные коэффициенты в разложении

Эту задачу можно решать двумя способами:

1) Так как , то, раскрывая скобки по биному и подставив в , получим разложение (трудоемко).

2) можно воспользоваться схемой Горнера

В остальных строках вычисляются

Пример 10.1.

1)

2)

Замечание 10.2. Очевидно, что с помощью схемы Горнера возможно вычисление значений производных в точках.

Упражнение 10.1.

можно найти корни. Они будут кратными корнями .

Пример 10.2.

- кратность 2, - кратность 1.

Замечание 10.5. Таким образом, схема Горнера используется:

1) для вычисления при

2) для вычисления полинома при делении на линейный множитель

3) для вычисления производных

4) для разложения по степеням

5) для определения кратности корня полинома .

Д/з: П 541, 544 (b), 545 (d), 547, 548 (b), 549, 551, 588, 591, 631(b, c), 634 (b), 636 a), 638, 639 (a, b, c).

Границы корней полиномов.

Теорема №2

Пусть f(x)= , . Верхняя граница положительных корней полинома f(x) может быть принята равной одному из чисел.

(Макларен)

(Лагранж),

где А – max из mod отрицательных коэффициентов.

- индекс первого отрицательного коэффициентов.

Теорема №3(Ньютона)

Число а есть верхняя граница положительных корней полинома f(x), если f(a)>0, f’(a)>0,…,

Замечание №1

Чтобы получать оценку снизу, следует … (-1)ⁿ f(-x) и оценить его корни сверху.

Замечание №2

Если все коэффициенты f(x) 0, то f(x) не имеет положительных корней.

Упражнение №693

		-4		-8
		-1
					>0
				>0
			>0
		>0

Пусть , ,

Теорема №4.

Если f(x) имеет корень , то

Упражнение №664(а)

		-6		-14
		-5		-4
		-4

 

Следовательно , т.е. .

И тогда мы делим на x-2. В результате деления мы получим следующее выражение: .

Прировняем его к нулю и решим как квадратное уравнение:

.

Пусть , .

Теорема №5

Если f(x) имеет корень и при этом является несократимой дробью, то:

1) делитель , т.е.

2) p делитель , т.е.

3) p-mq делитель f(m), т.е.

Замечание №3

В частности, ; .

Упражнение 664(а)

			-7	-26
3/2				26,5	51,75
2/3			8,3	-20,4
4/3				12,6	28,8
½				-24
-3			-8

 

D=4+48=52=4*13;

/

Замечание №4

Если в f(x) , то f(x) можно свести f(x) c .

Замечание №5

Уравнение с целочисленными коэффициентами чаще всего не имеет рациональных корней.

Возвратные полиномы.

Определение №2

называется возвратным, если , , …, , …, по (сравнивать) коэффициенты симметрично относительно середины.

Пример.

- бином.

Обозначим

Утверждение №1

f возвратен тогда и только тогда, когда .

Но , следовательно возвратные полиномы удовлетворяют функциональному соотношению .

Теорема №6

Если n- нечётная, то возвратный полином имеет корень .

Доказательство:

Вычислим Следовательно f(x) нечётной степени можно представить в виде f(x)=(x+1)g(x), где g(x) – возвратный полином чётной степени.

Упражнение №582.

;

Поделим его на х²:

;

Пусть

D =24;

Следовательно

D =

Упражнение №1

 

Поделим на х³:

 

Теорема №7 Признак неприводимости Эйзенштейна.

Пусть p – просто число.

, ;

f не приводим над полем .

 

 

Занятие 8. Полиномы. Действия над полиномами. Схема Горнера

Полиномы. Определение

Определение 8.1. Многочленом (полиномом) называется функция

Определение 8.2. Говорят, что полином имеет степень n, если . Обозначение: .

Определение 8.3. Два полинома называются тождественно равными, если при всех где и .

Теорема 8.1. Два полинома тождественно равны тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

Действия над полиномами

Для полинома определяются операции сложения и умножения:

Упражнение 8.1. Найти многочлены .