Обусловленность задачи вычисления корня

 

Будем предполагать, что в достаточно малой окрестности корня выполняется неравенство:

(4.24)

где – предельное значение абсолютной погрешности вычисления функции. Если функция f непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня , имеющая радиус e, в котором выполняется неравенство (4.24).

Для знак вычисленного значения f^*(Х) в общем случае не обязан совпадать со знаком функции f(Х) и, следовательно, становится невозможно определить, какое именно значение Х из интервала обращает функцию в нуль.

Этот интервал называется интервалом неопределенности корня .

Найдем оценку величины ε. Пусть -простой корень. Для близких к корню значений аргумента Х справедливо:

(4.25)

Тогда неравенство (4.24) примет вид:

(4.26)

Отсюда

. (4.27)

Следовательно:

(4.28)

где - абсолютное число обусловленности задачи вычисления коней нелинейного алгебраического уравнения..

 

4.3. Порядок выполнения работы

1. Изучить раздел 4.2 настоящих методических указаний.

2. Проверить условие сходимости и записать расчетные формулы для нахождения корня уравнения заданными методами. Варианты индивидуальных заданий представлены в таблице вариантов (Приложение В4, таблица B4.1).

3. Выбрать и обосновать выбор начального приближения из указанного отрезка поиска корня.

4. Написать и отладить программы решения нелинейного уравнения с точностью . В программе предусмотреть подсчет и вывод числа итераций, за которое удается найти значение корня с заданной точностью.

5. Сравнить полученное значение корня с истинным значением корня, приведенным в таблице вариантов.

6. Сделать анализ полученных результатов и составить отчет о проделанной работе.

Содержание отчета о выполнении работы

1. Цель работы.

2. Постановка задачи.

3. Краткое описание рассматриваемых методов решения нелинейных уравнений.

4. Анализ сходимости предлагаемых методов для решения поставленной задачи.

5. Обоснование выбора начального приближения из указанного отрезка поиска корня.

6. Результаты вычислительного эксперимента.

7. Анализ полученных результатов и выводы об их соответствии теоретически ожидаемым.

8. Приложения.

4.5. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи поиска корня нелинейного алгебраического уравнения.

2. Каковы основные этапы поиска корня нелинейного алгебраического уравнения?

3. Дайте определение понятию «простой корень».

4. Что собой представляет корень кратности k?

5. Какие основные методы решения задачи поиска корня нелинейного алгебраического уравнения Вы знаете?

6. В чём состоит суть модификации классического метода Ньютона-Рафсона для решения нелинейных алгебраических уравнений?

7. Дайте определение понятию «сходимость» при решении задачи поиска простых корней.

8. Какие методы поиска корней нелинейных уравнений называются многошаговыми? Приведите примеры одношаговых и многошаговых методов.

9. Что такое «интервал неопределенности» при поиске корня?

10. Как определить радиус интервала неопределённости при решении задачи поиска простого корня нелинейного уравнения с заданной точностью?

 

5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»

 

5.1. Цель работы

Получить навыки применения методов численного решения дифференциальных уравнений.

5.2. Краткие теоретические сведения

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется выражение:

(5.1)

где х - независимая переменная;

y(х) - искомая функция (решение дифференциального уравнения);

- производные порядка 1, 2,..., n функции y(х).

Порядок старшей производной, входящей в уравнение (5.1) называется порядком дифференциального уравнения.

Функция называется решением уравнения (5.1), если при подстановке ее в выражение (5.1) последнее обращается в тождество.

Каждое дифференциальное уравнение имеет в общем случае бесконечное множество решений.

Для нахождения частного решения необходимо указать начальные условия, а именно: задать значения при , т.е.

. (5.2)

Уравнение (5.1) называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

(5.3)

Задача отыскания решения уравнения (5.3) при начальных условиях (5.2) называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Уравнение (5.3) сводится к системе n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка заменой на независимую функцию: y¢ на P₁(x);

y¢¢ - на P₂(x); …, y^(n-1) - на P_(n-1)(x).

Таким образом, имеем:

(5.4)

причем .

Часто решение уравнения не удается найти в общем виде. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное решение задачи:

Метод степенных рядов.

 

Решение находится в виде сумм ряда:

(5.5)

Приближенное решение задачи дает частичная сумма этого ряда;

 

2) метод Эйлера для уравнения с начальным условием .

 

В процессе решения составляется таблица значений ,

где - отрезок, на котором ищется решение.

Значения y_k+1 определяются по формуле:

. (5.6)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

, (5.7)

где ;