усовершенствованный метод ломаных

 

Для некоторого повышения точности решения задачи предыдущим методом сначала вычисляют промежуточные значения:

,

а затем находят . (5.8)

 

Усовершенствованный метод Эйлера-Коши

 

Сначала вычисляют «грубое» значение

, (5.9)

которое затем уточняют по формуле

. (5.10)

Погрешность метода на каждом шаге пропорциональна h³;

Усовершенствованный метод Эйлера с уточнением

 

Сначала вычисляют , а затем это значение уточняют по формуле:

. (5.11)

Итерации продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут. Погрешность метода на каждом этапе имеет порядок h³;

Метод Рунге-Кутта

 

На каждом шаге вычисления выполняются по формуле , (5.12)

где ,

.

Погрешность метода на каждом шаге имеет порядок ;

Метод Адамса

7.1) формула с первыми конечными разностями:

(5.13)

- конечная разность 1-го порядка.

Значение y₁ находят любым другим способом, например, применяя метод Эйлера. Погрешность вычислений на каждом шаге имеет порядок h².

7.2) формула со вторыми конечными разностями:

, (5.14)

где - конечная разность 1-го порядка,

- конечная разность 2-го порядка.

Значения y₁ и y₂ находят любыми другими способами. Погрешность на каждом шаге имеет порядок ;

Метод Милна

 

Пусть для уравнений кроме начального условия найден и некоторый «начальный отрезок», т.е. значения искомой функции в точках .

Последующие значения функции y_i при i=4, 5, … определяются на каждом шаге следующим образом:

для предсказания используется 1-я формула Милна:

.

Используя , вычисляются и корректируются значения по второй формуле Милна:

. (5.15)

Абсолютная погрешность значения приближенно определяется как .

5.3. Пример решения типовой задачи

Пусть необходимо решить, применяя метод Эйлера, следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

y¢¢-2y¢+sin(xy)+x=0,

для которого заданы начальные условия: x₀=0, y₀=y(x₀)=1, y¢₀=y¢(x₀)=1.

Сначала необходимо понизить порядок дифференциального уравнения. Введём в рассмотрение новую функцию Р(x,y)= y¢(x,y).

Тогда исходное уравнение может быть представлено системой из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка:

y¢(x,y)=P(x,y)

P¢(x,y)=2P(x,y)-sin(xy)-x.

Начальные условия для уравнений этой системы: x₀=0, y₀=1, Р₀=1.

Расчётные формулы для получения решения методом Эйлера имеют вид:

y_i+1=y_i+h×P_i

P_i+1=P_i+h×(2×P_i-sin(x_i×y_i) -x_i).

Последовательно подставляя в расчётные формулы начальные условия x₀, y₀ и Р₀, а затем и вычисленные на очередном шаге значения x_i, y_i и P_i, можно получить численное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка в виде табличного представления функции y(x) c заданным шагом h изменения аргумента х.

Аналогичный приём понижения порядка дифференциальных уравнений может быть применён для произвольного ОДУ n-го порядка (число уравнений в соответствующей системе ОДУ 1-го порядка будет равно n).

5.4. Порядок выполнения работы

1. Изучить разделы 5.2 и 5.3 настоящих методических указаний.

2. Изучить обусловленные вариантом индивидуального задания методы решения предложенного дифференциального уравнения.

3. Записать расчетные формулы для решения поставленной задачи.

4. Разработать алгоритм и программу для построения таблицы значений искомой функции y(x) для уравнения, указанного в списке вариантов индивидуальных заданий (Приложение В, таблица B5.1), на заданном отрезке с шагом h. Предусмотреть в программе вывод значений точного решения дифференциального уравнения с целью сравнения с полученными результатами.

5. Оценить точность полученного решения.

6. Составить отчет о проделанной работе.

 

5.5. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

2. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка.

3. В чем состоит основная идея численного решения дифференциального уравнения, положенная в основу метода Эйлера?

4. Каковы достоинства и недостатки этого метода? Какова его погрешность?

5. В чем состоит основная идея численного решения дифференциального уравнения, положенная в основу метода Рунге-Кутта?

6. Какова погрешность решения для метода Рунге-Кутта?

7. Как может быть применена идея переменного шага для уменьшения погрешности решения и увеличения быстродействия при использовании этого метода?

8. Какие численные методы решения дифференциальных уравнений называются одношаговыми? Приведите примеры.

9. Какие численные методы решения дифференциальных уравнений называются многошаговыми? Приведите примеры.

10. В чем преимущество многошаговых методов по сравнению с одношаговыми? Недостатки?

Библиографический список

1. Амосов А.А., Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие./А.А. Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В. Копченова. - М.: Изд-во МЭИ, 2003.-596с.

2. Бахвалов А.С. Численные методы в задачах и упражнениях. / А.С. Бахвалов. - М.: Высш. шк., 2000.-190с.

3. Бахвалов А.С. Численные методы. Учебное пособие./А.П. Жидков, Г.М. Кобельков. 4-е изд. М.-СПб.: Физматлит, Невский диалект, Лаборатория базовых знаний, 2003. - 624с.

4. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. / Ю.П. Боглаев. - М.: Высш. шк., 1990.-284с.

5. Волков Е.А. Численные методы./ Е.А. Волков. - М.: Наука, 1987. -248с.

6. Воробьева Г.А. Практикум по вычислительной математике. / Г.А.Воробьева, А.Н.Данилова. - М.: Высш. шк., 1990.-208с.

7. Демидович Б.П. Численные методы анализа. / Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова. - М.: Наука, 1967.-534с.

8. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие./ В.В. Иванов. - К.: Наукова думка, 1986.-584с.

9. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам. / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская. - М.: Едиториал, 2003.-208с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Образец оформления титульного листа отчета о выполнении лабораторной работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Севастопольский национальный технический университет

 

 

Кафедра кибернетики и

вычислительной техники

 

ОТЧЁТ

о выполнении лабораторной работы № х

на тему: «ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ»

по дисциплине «Информатика и системология»

№ варианта хх

 

 

Выполнил: студент(ка) гр. ЭК- ХХ д

Хххххххххх х.х.

Проверила:

 

Севастополь

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ

 

В1. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»

Задание 1.

Для данных, представленных в таблице B1.1, выполнить следующее:

1.1. Определить какое равенство точнее.

1.2. Округлить сомнительные числа, оставив верные знаки:

а) в узком смысле;

б) в широком смысле.

1.3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности, если они имеют только верные цифры:

а) в узком смысле;

б) в широком смысле.

Таблица B1.1.

№ вар.	Исходные данные	№ вар.	Исходные данные
1.	1.1) 1.2) 1.3)	2.	1.1) 1.2) 1.3)
3.	1.1) 1.2) 1.3)	4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.

Задание 2

2.1. Вычислить и определить погрешности результата вычислений выражения.

Таблица B1.2

Выражение
№ вар
a	3,85(±0,01)	4,16(±0,005)	7,27(±0,01)
b	2,0435(±0,0004)	12,163(±0,002)	5,205(±0,002)
c	962,6(±0,1)	55,18(±0,01)	87,32(±0,03)
Выражение
№ вар
a	4,3(±0,05)	5,2(±0,04)	2,13(±0,01)
b	17,21(±0,02)	15,32(±0,01)	22,16(±0,03)
c	8,2(±0,05)	7,5(±0,05)	6,3(±0,04)
m	12,417(±0,003)	21,823(±0,002)	16,825(±0,004)
n	8,37(±0,005)	7,56(±0,003)	8,13(±0,002)
№ вар
a	228,6(±0,06)	315,6(±0,05)	186,7(±0,04)
b	86,4(±0,02)	72,5(±0,03)	66,6(±0,02)
c	68,7(±0,05)	53,8(±0,04)	72,3(±0,03)
Выражение
№ вар
a	13,5(±0,02)	18,5(±0,03)	11,8(±0,02)
b	3,7(±0,02)	5,6(±0,02)	7,4(±0,03)
m	4,22(±0,004)	3,42(±0,003)	5,82(±0,005)
c	34,5(±0,02)	26,3(±0,01)	26,7(±0,03)
d	23,725(±0,005)	14,782(±0,003)	11,234(±0,004)

Выражение
№ вар
a	3,845(±0,004)	4,632(±0,003)	7,312(±0,004)
b	16,2(±0,05)	23,3(±0,04)	18,4(±0,03)
c	10,8(±0,1)	11,3(±0,06)	20,2(±0,08)
Выражение
№ вар
a	2,754(±0,001)	3,236(±0,002)	4,523(±0,003)
b	11,7(±0,04)	15,8(±0,03)	10,8(±0,02)
m	0,56(±0,005)	0,64(±0,004)	0,85(±0,003)
c	10,536(±0,002)	12,415(±0,003)	9,318(±0,002)
d	6,32(±0,008)	7,18(±0,006)	4,17(±0,004)
Выражение
№ вар
a	3,456(±0,002)	1,245(±0,001)	0,327(±0,005)
b	0,642(±0,0005)	0,121(±0,0002)	3,147(±0,0001)
c	7,12(±0,004)	2,34(±0,003)	1,78(±0,001)
Выражение
№ вар
a	23,16(±0,02)	17,41(±0,01)	32,37(±0,03)
b	8,23(±0,005)	1,27(±0,002)	2,35(±0,001)
c	145,5(±0,08)	342,3(±0,04)	128,7(±0,02)
d	28,6(±0,1)	11,7(±0,1)	27,3(±0,04)
m	0,28(±0,006)	0,71(±0,003)	0,93(±0,001)

2.2. Вычислить выражение, пользуясь правилами подсчета цифр.

 

Таблица B1.3

Выражение
№ вар
h	21,1	17,8	32,5
a	22,08	32,47	27,51
b	31,11	11,42	21,78
Выражение
№ вар
a	2,456	7,751	5,441
h	1,76	3,35	6,17
Выражение
№ вар
c	2,435	7,834	4,539
b	0,15	0,21	0,34
g	1,27	3,71	5,93
Выражение
№ вар
h	84,2
D	28,3	17,2	48,3
d	42,08	9,344	32,14
Выражение
№ вар
a	46,3	10,5	2,48
b	29,72	34,18	5,344
c	37,654	27,327	6,0218

 

Выражение
№ вар
a	5,27	7,31	3,28
b	0,0562	0,0761	0,0545
a	158,35	234,36	341,17
b	61,21	81,26	52,34
Выражение
№ вар
a	1,141	2,234	5,813
b	3,156	4,518	1,315
h	1,14	4,48	2,56
Выражение
№ вар
a	8,53	6,44	9,05
b	6,271	5,323	3,244
h	12,48	15,44	20,18

 

В2. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №2 «Приближение функций»

2.1. Составить программу для нахождения приближенного значения функции при заданном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана:

а) в неравноотстоящих узлах таблицы;

б) в равноотстоящих узлах таблицы.

Таблица B2.1.

x	y	№ вар	Xинт		x	y	№ вар	Xинт
0,43	1,63597		0,702		0,02	1,02316		0,102
0,48	1,73234		0,512		0,08	1,09590		0,114
0,55	1,87686		0,645		0,12	1,14725		0,125
0,62	2,03345		0,736		0,17	1,21483		0,203
0,70	2,22846		0,608		0,23	1,30120		0,154
0,75	2,35973				0,30	1,40976

 

x	y	№ вар	Xинт		x	y	№ вар	Xинт
0,35	2,73951		0,526		0,41	2,57418		0,616
0,41	2,30080		0,453		0,46	2,32513		0,478
0,47	1,96864		0,482		0,52	2,09336		0,665
0,51	1,78776		0,552		0,60	1,86203		0,537
0,56	1,59502		0,436		0,65	1,74926		0,673
0,64	1,34310				0,72	1,62098

 

 

x	y	№ вар	Xинт		x	y	№ вар	Xинт
0,68	0,80866		0,896		0,11	9,05421		0,314
0,73	0,89492		0,812		0,15	6,61659		0,235
0,80	1,02964		0,774		0,21	4,69170		0,332
0,88	1,20966		0,955		0,29	3,35106		0,336
0,93	1,34087		0,715		0,35	2,73951		0,352
0,99	1,52368				0,40	2,36522

 

2.2. Составить программу для вычисления приближенного значения функции при заданном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Ньютона.

Таблица B2.2

 

x	y	№ вар	Xинт		x	y	№ вар	Xинт
1,375	5,04192		1,3832		0,115	8,65729		0,1264
1,380	5,17744		1,3926		0,120	8,29329		0,1315
1,385	5,32016		1,3862		0,125	7,95829		0,1232
1,390	5,47069		1,3934		0,130	7,64893		0,1334
1,395	5,62968		1,3866		0,135	7,36235		0,1285
1,400	5,79788				0,140	7,09613

 

x	y	№ вар	Xинт		x	y	№ вар	Xинт
0,150	6,61659		0,1564		0,180	5,61543		0,1838
0,155	6,39989		0,1615		0,185	5,46693		0,1875
0,160	6,19658		0,1632		0,190	5,32634		0,1944
0,165	6,00551		0,1634		0,195	5,19304		0,1976
0,170	5,82558		0,1685		0,200	5,06649		0,2038
0,175	5,65583				0,205	4,94619

 

x	y	№ вар	Xинт		x	y	№ вар	Xинт
0,210	4,83170		0,2121		1,415	0,888551		1,4179
0,215	4,72261		0,2165		1,420	0,889599		1,4258
0,220	4,61855		0,2232		1,425	0,890637		1,4396
0,225	4,51919		0,2263		1,430	0,891667		1,4236
0,230	4,42422		0,2244		1,435	0,892687		1,4315
0,235	4,33337				1,440	0,893698

 

 

В3. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»

Таблица 3.1.

№ вар	Методы численного дифференцирования	Методы численного интегрирования
	1, 2	1, 2
	2, 3	2, 3
	3, 4	3, 4
	4, 5	4, 5
	5, 1	5, 6
	1, 3	6, 7
	2, 4	7, 3
	3, 5	1, 4
	4, 1	2, 5
	5, 2	3, 6
	1, 4	4, 7
	2, 5	5, 1
	3, 1	6, 2
	4, 2	7, 3
	5, 3	1, 4
	1, 5	2, 5
	2, 1	3, 6
	3, 2	4, 7
	4, 3	5, 1
	5, 4	6, 2
	1, 2	7, 3
	2, 3	1, 4
	3, 4	2, 4
	4, 5	3, 5
	5, 1	4, 6

В таблице B3.1.использованы следующие коды методов:

1) для численного дифференцирования:

1-основанный на первой интерполяционной формуле Ньютона;

2- основанный на первой формуле Гаусса;

3-основанный на второй формуле Гаусса;

4-основанный на формуле Стирлинга;

5-основанный на формуле Бесселя;

2) численного интегрирования:

1-левых прямоугольников;

2-правых прямоугольников;

3-центральных (средних) прямоугольников;

4–Ньютона-Котеса;

5-трапеций;

6-Симпсона;

7-Гаусса.

Таблица B3.2

Варианты 1, 11,21	Варианты 2,12,22	Варианты 3,13,23	Варианты 4,14,24	Варианты 5,15,25
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
1,415	0,888551	0,101	1,26183	0,180	5,61543	3,50	33,1154	0,115	8,65729
1,420	0,889599	0,106	1,27644	0,185	5,46693	3,55	34,8133	0,120	8,29329
1,425	0,890637	0,111	1,29122	0,190	5,32634	3,60	36,5982	0,125	7,95829
1,430	0,891667	0,116	1,30617	0,195	5,190304	3,65	38,4747	0,130	7,64893
1,435	0,892687	0,121	1,32130	0,200	5,06649	3,70	40,4473	0,135	7,36235
1,440	0,893698	0,126	1,33660	0,205	4,94619	3,75	42,5211	0,140	7,09613
1,445	0,894700	0,131	1,35207	0,210	4,83170	3,80	44,7012	0,145	6,84815
1,450	0,895693	0,136	1,36773	0,215	4,72261	3,85	46,9931	0,150	6,61659
1,455	0,896677	0,141	1,38357	0,220	4,61855	3,90	49,4024	0,155	6,39986
1,460	0,897653	0,146	1,39959	0,225	4,51919	3,95	51,9354	0,160	6,19658
1,465	0,898619	0,151	1,41579	0,230	4,42422	4,00	54,5982	0,165	6,00551
1,470	0,898602	0,156	1,42244	0,235	4,33337	4,05	57,3975	0,170	5,82558
Варианты 6,16,26	Варианты 7,17,27	Варианты 8,18,28	Варианты 9, 19,29	Варианты 10,20,30
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
1,340	4,25562	0,01	0,991824	0,15	4,4817	0,45	29,1946	0,15	0,860708
1,345	4,35325	0,06	0,95193	0,16	4,9530	0,46	19,33	0,20	0,818731
1,350	4,45522	0,11	0,913650	0,17	5,4739	0,47	18,9425	0,25	0,778801
1,355	4,56184	0,16	0,876905	0,18	6,0496	0,48	18,1746	0,30	0,740818
1,360	4,67344	0,21	0,841638	0,19	6,6859	0,49	17,3010	0,35	0,704688
1,365	4,79038	0,26	0,807789	0,20	7,3891	0,50	16,3123	0,40	0,670320
1,370	4,91306	0,31	0,775301	0,21	8,1662	0,51	15,1984	0,45	0.637628
1,375	5,04192	0,36	0,744120	0,22	9,0250	0,52	13,9484	0,50	0,606531
1,380	5,17744	0,41	0,714193	0,23	9,9742	0,53	12,5508	0,55	0,576950
1,385	5,32016	0,46	0,685470	0,24	11,0232	0,54	10,9937	0,60	0,548812
1,390	5,47069	0,51	0,657902	0,25	12,1825	0,55	9,2647	0,65	0,522046
1,395	5,62968	0,56	0,631442	0,26	13,4637	0,56	7,3510	0,70	0,500023

В4. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение нелинейных уравнений»

 

Таблица B4.1.

№ вар.	Уравнение	Отрезок, содержащий корни	Методы решения	Приближенное значение корня
		[2;3]	1,2	2,2985
		[0;2]	2,3	1,0001
		[0,4;1]	6,4	0,7376
		[0;0,85]	1,5	0,2624
		[1;2]	2,3	1,1183
		[0;0,8]	6,4	0,3333
		[0;1]	1,5	0,5629
		[2;4]	2,6	3,2300
		[1;2]	6,1	1,8756
		[0;1]	1,3	0,7672
		[0;1]	2,4	0,8814
		[1;3]	6,5	1,3749
		[1,2;3]	1,6	1,3077
		[3;4]	2,4	3,5265
		[1;2]	6,5	1,0804
		[0; 1,5]	1,3	1,1474
		[1;3]	2,5	2,0692
		[0;1]	6,2	0,5768
		[0,5;1]	1,3	0,9892
		[1;3]	2,4	1,8832
		[0;1]	6,5	0,1010
		[2;3]	1,5	2,0267
		[0,4;1]	2,6	0,6533
		[-1;0]	6,4	-0,2877
		[2;3]	1,5	2,8459

В таблице B4.1 метод, соответствующий Вашему варианту, численного решения уравнения определяется следующим образом:

1. Метод простой итерации.

2. Метод Ньютона-Рафсона. Классический.

3. Метод Ньютона-Рафсона. Упрощенный.

4. Метод Ньютона-Рафсона. Метод ложных положений.

5. Метод секущих.

6. Метод половинного деления.

 

В5. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение дифференциальных уравнений»

 

Таблица B5.1.

№	Уравнение	Начальные условия	Отрезок интегриро- вания [a,b]	Шаг h	Точ-ность   e	Методы решения	Точное решение дифференциального уравнения
			0;0,5	0,1	10^-3	2,8
			0;0,5	0,05	10^-3	3, 7.2
			0;1	0,1	10^-2	4,6
			0;0,2	0,02	10^-3	5,4
			0;1	0,1	10^-2	6,3
			0;1	0,1	10^-3	7.1,1
			1;2	0,1	10^-2	7.2,8
			0;1	0,1	10^-3	8, 7.1
			1;1,5	0,05	10^-2	2,6
			1;1,5	0,05	10^-2	3,5
			0;0,5	0,05	10^-3	4,3
			0;1	0,1	10^-2	5,2
			1;2	0,1	10^-3	6,8
			1;2	0,1	10^-2	7.1,6
			1;2	0,1	10^-3	7.2,5
			0;0,5	0,05	10^-2	8, 7.1