Первообразная функция и неопределённый интеграл

Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка

F' (х)= f (x).

Например, F (x)= является первообразной для функции f (x)= x ², поскольку .

Теорема. Если F ₁(x) и F ₂(x) – первообразные для функции f (x) в некотором промежутке Х, то найдётся такое число С, что

F ₂(x)= F ₁(x)+ C.

Следовательно, если F (x) – первообразная для f (x), то выражение вида F (x)+ C, где С – произвольное число, задаёт все возможные первообразные для f (x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается

где – символ интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение.

Таким образом,

где F (x) – некоторая первообразная для f (x), C – произвольная постоянная.

Пример.

Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределённого интеграла:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

 

2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

 

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

где С – произвольное число.

 

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где – некоторое число.

 

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

.

Основные табличные интегралы

(интегралы от основных элементарных функций):

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

 

Примеры:

1)

2)

 

Основные методы интегрирования

Метод замены переменной

Метод описывается формулой:

где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример.

 

Теорема. Пусть F (x) – некоторая первообразная для функции Тогда

где и – некоторые числа, .

Пример.

 

Интегрирование по частям

Пусть – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала или Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получим:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределённого интеграла. Здесь подынтегральное выражение разбивается на два сомножителя – и При этом дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей. Если при этом интегрирование не слишком усложнит другой сомножитель, то можно упростить процесс интегрирования.

Пример.

В некоторых случаях интегрировать по частям приходится более одного раза.

Пример.

.

Интегрирование по частям применяется к следующим типам интегралов:

1)

Здесь формулу применяют раз; в первом применении , остальные сомножители принимаются за , пока степень переменной не станет равной нулю.

2)

Здесь принимают , остальные сомножители задают выражение для .

Пример.

 

Лекция 2.9.2 «Определенный интеграл»

Учебные вопросы:

1. Определенный интеграл, его свойства и вычисление

2. Геометрические приложения определенного интеграла

3. Приближенное вычисление определенных и интегралов