Тема 16 Числовые характеристики случайных величин

 

Лекция 3.16.1 «Числовые характеристики случайных величин»

Учебные вопросы:

1. Характеристики положения

2. Характеристики рассеивания

 

Характеристики положения

Случайные величины, помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, различные моменты распределения порядка выше первого и др.).

Математическим ожиданием (средним значением по распределению, средним) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины X формулой

(1)

Из определения математического ожидания легко получаются следующие его свойства:

a. Аддитивность [ X + Y ] = [ X ] + [ Y ], т. е. математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математическихожиданий слагаемых. Это свойство распространяется на случай любого конечного числа слагаемых;

b. Для любого числа

[ X ] = [ X ],

т. е. постоянный множитель можно выносить за знакматематического ожидания;

c. Математическое ожидание индикатора события А равно вероятности этого события:

[ ] = (А);

d. Свойство монотонности: если Х ≥ Y, то

[ X ] ≥ [ Y ];

e. Для независимых случайных величин X и Y имеет место мультипликативное свойство математического ожидания:

[ X∙Y ] = [ X ] ∙ [ Y ],

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведениюих математических ожиданий. Свойство мультипликативности распространяется на случай произвольного конечного числа независимых случайных величин. Следует отметить, что если свойство аддитивности математического ожидания справедливо для любых случайных величин, то свойство мультипликативности математического ожидания справедливо только для независимых случайных величин.

Модой случайной величины X непрерывного типа называется такое ее числовое значение , для которого плотность распределения вероятностей этой величины имеет максимум. Мода случайной величины дискретного типа определяется как такое ее возможное значение , для которого

{ X = } = max { X = }. (2)

^k

Таким образом, мода дискретной случайной величины есть ее наиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальноераспределение).

Медианой случайной величины X непрерывного типа называется такое ее числовое значение , при котором

{ Х < } = { Х ≥ } или F_Х (x) = . (3)

Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно.

 

Характеристики рассеивания

Дисперсией случайной величины X называется неотрицательное число [ Х ] , определяемое формулой

 

(4)

Неотрицательное число называется среднеквадратичным отклонением (сокращенно с. к. о.) случайной величины X. Оно имеет размерность случайной величины X и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину иногда называют стандартным отклонением.) Если величина X =const (т. е. X не случайна), то [ ] = 0.

Свойства дисперсии:

a. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна, причем [ X ] = 0 тогда и только тогда, когда – постоянная;

b. Если – постоянная, то

[ ] = [ ];

c. Если случайные величины X и Y независимы, то

[ ] = [ ]+ [ ].

Случайная величина X называется центрированной (обозначается ), если m_X = 0. Случайная величина X называется стандартизованной, если

m_X = 0 и =1 (т. е. начало отсчета находится в _, а единицей измерения величины является ).

Начальным моментом m -го порядка( = 0, 1, 2,...) распределенияслучайной величины X называется действительное число , определяемое по формуле

(5)

Центральным моментом m -го порядка распределения случайной величины X называется число , определяемое по формуле

(6)

Из определений моментов, в частности, следует, что

a₀ = = 1, m_X = a₁ , D_Х = = = a₂ -

Отметим еще две важные характеристики распределения, связанные с моментами высшего порядка:

· коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения

, (7)

· коэффициент эксцесса или «островершинности» распределения

. (8)

Квантилью порядка распределения случайной величины X непрерывного типа называется действительное число , удовлетворяющее уравнению

{ Х < } = . (9)

В частности, из определения медианы следует, что

h_X = .