Тема 5 Элементы аналитической геометрии

 

Лекция 1.5.1. «Прямая линия на плоскости»

Учебные вопросы:

1. Уравнение линии на плоскости

2. Прямая линия на плоскости

3. Полярные координаты

Уравнение линии на плоскости

Геометрия представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между объектами, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены с точками. В аналитической геометрии точка определяется ее координатами в некоторой системе отсчета и, следовательно, геометрические отношения записываются в виде соотношений между координатами (уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств и др.). Далее, если не оговорено особо, применяется декартова прямоугольная система координат.

На плоскости каждая ее точка (рис. 5.1) представляется двумя координатами: абсциссой и ординатой (записывается ).

Расстояние между точками плоскости и

; (5.1)

координаты середины отрезка (точки ) (рис.5.2):

. (5.2)

Уравнение вида

или , (5.3)

связывающее координаты и точек плоскости, называется уравнением линии , если:

a) координаты каждой точки линии удовлетворяют этому уравнению (рис. 5.3);

b) координаты любой точки, не лежащей на линии , неудовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (5.3) в общем случае задает на плоскости некоторое точечное множество, которое может быть и не линией на плоскости.

Плоскую линию можно задать также двумя уравнениями

, (5.4)

где – переменный параметр (параметрическое задание линии).

Значения координат и , которые удовлетворяют системе уравнений двух кривых

определяют точку пересечения этих кривых. Число точек пересечения равно числу решений этой системы. Если система не имеет решений, то линии не пересекаются.

Прямая линия на плоскости

В зависимости от исходных данных и решаемой задачи уравнение прямой линии на плоскости может иметь различный вид.

Каноническое (симметричное) уравнение прямой. Прямую можно задать точкой , через которую она проходит, и направлением ее прохождения по направлению вектора , лежащего на прямой или параллельного ей (рис. 5.4). Этот вектор называется направляющим вектором прямой. Вектор , проведенный из точки в любую произвольную точку прямой , лежит на прямой и параллелен (коллинеарен) направляющему вектору. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат, т. е.

. (5.5)

Уравнение (5.5) называется каноническим (симметричным) уравнением прямой.

Направление прямой может быть задано вектором , которому она перпендикулярна (рис. 5.4). Этот вектор называют нормальным вектором прямой. Условием перпендикулярности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения

. (5.6)

Уравнение (1.3.6) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данному вектору.

Уравнение (5.6) можно записать в виде

. (5.7)

Это уравнение (общее уравнение прямой на плоскости) линейно относительно декартовых координат и и определяет при и одновременно не равных нулю прямую линию на плоскости. Обратно, каждая прямая линия на плоскости может быть определена линейным уравнением (5.7). При прямая проходит через начало координат. При прямая проходит параллельно оси , при – параллельно оси . Для примера на рис. 5.5 приведены прямые, соответствующие уравнениям , , .

Коэффициенты в общем уравнении прямой (5.7) определяют координаты нормального и направляющего векторов этой прямой: , . Следует отметить, что эти векторы определяются с точностью до постоянного множителя, т. е. векторы и , где – любое не равное нулю число, также могут быть взяты в качестве нормального и направляющего вектора соответственно.

 

Пример. Дана прямая (). Составить уравнения прямых, проходящих через точку а) параллельно данной прямой

(), б) перпендикулярно данной прямой ().

◄ а) Направляющий вектор для данной прямой будет направляющим вектором и для (). Каноническое уравнение прямой согласно (5.5) будет . Отсюда получаем общее уравнение прямой : . Это же уравнение можно получить другим путем. Записав общее уравнение прямой в виде (коэффициенты и для параллельных прямых можно взять одинаковыми), после подстановки в него координат точки получить значение .

б) В качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор прямой : . Каноническое уравнение прямой : . Отсюда : . ►

 

Общее уравнение прямой (5.7) можно переписать в виде или (положив , )

, (5.8)

Уравнение (5.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Оно определяет прямую, образующую угол с положительным направлением оси (рис. 5.6) и пересекающую ось в точке . Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой можно также записать в виде

. (5.9)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках и определяет прямую линию, пересекающую ось в точке и ось в точке (рис. 5.6).

Уравнение прямой, проходящей через две данные (несовпадающие) точки и (рис. 5.7), следует из канонического уравнения (5.5), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор и выбрать точку (или ):

или . (5.10)

Условием, при котором три точки плоскости , и лежат на одной прямой, является

.

 

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и . Записать это уравнение в виде уравнения в отрезках и построить прямую.

◄ Используя (5.10), получаем уравнение искомой прямой: . Переписываем уравнение в форму уравнения в отрезках: . Из последнего уравнения имеем , . Прямая приведена на рис. 5.8. ►

 

Обозначив в каноническом уравнении (5.5) отношение через ( – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой:

(5.11)

Под углом между двумя пересекающимися прямыми и понимается угол, на который нужно повернуть прямую вокруг точки пересечения прямых по часовой стрелке до первого пересечения с прямой (рис. 5.9). Этот угол (или смежный с ним ) равен углу между направляющими векторами и прямых (рис. 5.9), т.е. (с точностью до знака)

. (5.12)

Угол между прямыми можно найти также при помощи их нормальных векторов и :

. (5.13)

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом , , то угол между ними можно определить по формуле

. (5.14)

Из этой формулы следует, что прямые параллельны при и перпендикулярны при ().

Пример. Найти угол между прямыми : и : .

◄ Используем формулу (5.13). По уравнениям прямых находим их нормальные векторы: , . Согласно (5.13) будем иметь . Отсюда , (смежные углы).

Используем также формулу (5.14). Преобразовав уравнения прямых в форму с угловым коэффициентом: : , : , получаем угловые коэффициенты , . Подставив значения коэффициентов в (5.14), получаем . Отсюда или .

Получен целый набор значений угла . Значения , полученные по формуле (5.13), являются на самом деле значениями углов между нормальными векторами прямых и, учитывая неоднозначность выбора этих векторов, неоднозначно определяют угол между прямыми с точки зрения их взаимного расположения на плоскости. Поэтому формулами (5.12) и (5.13) пользуются тогда, когда взаимное расположение прямых не имеет значения. Однозначное значение угла между прямыми с учетом направления поворота прямой вокруг точки пересечения получают по формуле (5.14). Таким образом, угол между данными прямыми (угол соответствует повороту прямой к прямой против часовой стрелки). ►

 

Полярные координаты

Полярная система координат на плоскости задается точкой (полюс) и лучом (полярная ось) (рис. 1.26). С каждой точкой плоскости, на которой задана полярная система координат, можно связать определенную пару чисел , – полярные координаты (обозначение ). Полярный радиус есть длина отрезка , а полярный угол – радианная мера угла , отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки (рис. 5.10).

Угол определен с точностью до слагаемого , где – любое целое число. Для полюса величина не определена.

Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом и осью прямоугольной системы координат, то при условии, что для измерения , и использованы равные единицы масштаба, декартовы и полярные координаты связаны следующими формулами преобразования:

(5.15)

 

Пример. Полярная система координат задана совместно с декартовой системой согласно рис. 5.11. Определить полярные координаты точки .

◄ По формулам (5.15) находим: , , . Знаки и указывают на то, что точка находится во втором квадранте, т. е. . Таким образом, полярные координаты точки . ►

 

Расстояние между точками плоскости и :

. (5.16)

 

Пример. Найти расстояние между точками и .

◄ Подставляя полярные координаты точек в формулу (5.16), получаем . ►

 

Если прямая в декартовой системе задана общим уравнением , то в полярных координатах это уравнение будет иметь вид:

.

 

Лекция 1.5.2. «Линии (кривые) второго порядка на плоскости»

Учебные вопросы:

1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы

2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости