Интегрирование путем подведения под знак дифференциала



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала



 


Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала


В общем случае:

'(x)dx=d(x)

Пример

 

Найти неопределенный интеграл .
В данном примере множитель , стоящий под знаком интеграла, есть производная от выражения , стоящего в числителе, следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
.
Тогда:
.
Ответ: .

 

31.

Интегрирование по частям
 
Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и vопределяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены, Это и есть формула интегрирования по частям.
Пример 1
 
Вычислить интеграл . Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

32.

33. Формула Ньютона — Лейбница.

 

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции


и

 

делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то


(1)

 

33.Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; b

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

  • Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке
  • Для любых a, b и c
  • Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A
  • Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.
  • Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

34. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

    1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
    2. ,
    3. функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.
Пример:

.

35. Теорема 2. Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то

(24)

Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.

Доказательство очень просто. Именно,

Так как по формуле интегрирования по частям будет

то

откуда и следует (24).

Пример 1.

Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).\

Функции нескольких переменных


Функции двух переменных

Приращение функции

 


Функция, дифференцируемая в точке

 

при

В этом случае дифференциал функции в точке :

- частные производные, вычисленные в точке .


Дифференцирование композиции

 

1. Если то

2. Если то:


Однородная функция степени k

 

I ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Признак сравнения

1) Если , начиная с некоторого и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :

а) геометрическую прогрессию , , сходящуюся при и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд , который расходится;

в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p<1 ( что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+ ), где - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln(1 , то этот ряд сравниваем с рядом

, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд .

n-й член данного ряда: ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится.

Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.

 

Функциональные ряды

Формально записанное выражение

(25)

где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

Примерами функциональных рядов могут служить:

(26)

(27)

Придавая независимой переменной xнекоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд

Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .

41. Степенные ряды Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида

где x0 − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида
F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*)
связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С12,…,Сn), которая зависит от аргумента х и nнезависимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.
Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сnопределенные числовые значения.

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение , допускающее запись в виде

,

а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Предполагается, что функция определена и непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только в другую – только , а затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

 

43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравне

ние является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2x или U'υ+U'+3υ)= e2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e–3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.124.56 (0.012 с.)