Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
'(x)dx=d(x) Пример
Найти неопределенный интеграл .
31.
32. 33. Формула Ньютона — Лейбница.
Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции и
делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то (1)
33. Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; b Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
34. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция
Тогда . Док-во. Пусть F (x) - первообразная для функции f (x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать. При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. . 35. Теорема 2. Если u (x) и v (x) - две функции, заданные на промежутке [ a, b ] и имеющие там непрерывные производные, то (24) Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.
Доказательство очень просто. Именно,
Так как по формуле интегрирования по частям будет
то
откуда и следует (24). Пример 1.
Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).\ Функции нескольких переменных
Приращение функции
при В этом случае дифференциал функции в точке : - частные производные, вычисленные в точке .
1. Если то 2. Если то:
I ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Признак сравнения 1) Если , начиная с некоторого и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2). В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать: а) геометрическую прогрессию , , сходящуюся при и расходящуюся при ; б) гармонический ряд , который расходится; в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p<1 (что доказывается с помощью интегрального признака Коши). 2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд . Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+ ), где - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln(1 , то этот ряд сравниваем с рядом , представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится. Пример 2. Исследовать ряд . n-й член данного ряда: ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится. Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.
Функциональные ряды Формально записанное выражение (25) где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом. Примерами функциональных рядов могут служить: (26) (27) Придавая независимой переменной x некоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд
Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при . 41. Степенные ряды Определение Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x 0), то есть ряд вида где x 0 − действительное число. Интервал и радиус сходимости Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. или на основе признака Даламбера: 42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия Определение. Уравнение вида Уравнения с разделяющимися переменными
Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение , допускающее запись в виде , а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме называются уравнениями с разделяющимися переменными. Предполагается, что функция определена и непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только в другую – только , а затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. ние является линейным.
|
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 901; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.136.235 (0.035 с.) |