Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим.

Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Имеет место тождество , ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким образом,

, .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , .

Если векторы , , заданы своими координатами:

, , ,

то смешанное произведение определяется формулой

.

Напомним, что система координатных осей предполагется правой (вместе с тем является правой и тройка векторов , , ).

19.Последовательность, одно из основных понятий математики. П. образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,..., n,..., и записывается в виде x₁, x₂, …, x_n, … или коротко, { x_n }. Элементы, из которых составляется П., называются её членами. Члены П., стоящие на разных местах, могут совпадать. П. можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел). Обычно П. определяется заданием n -го члена или рекуррентной формулой, по которой каждый следующий член определяется через предыдущий (см., например, Фибоначчи числа). Наиболее часто встречаются числовые и функциональные П. (т. е. П., членами которых являются числа или функции). Примеры:

1, 2, …, n, …, то есть x_n= n; (1)

, то есть ; (2)

,

то есть ; (3)

,

то есть ; (4)

Если элементы числовой П. при достаточно больших номерах n сколь угодно мало отличаются от числа а, то П. называется сходящейся, а число а — её пределом (аналогично определяется предел при функциональных П.). Например, П. (2) и (4) — сходящиеся, и их пределами служат число 0 и функция 1/(1 + x²). Несходящиеся П., например (1) и (3), называются расходящимися.

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Свойства предела последовательности.

Общие свойства.

Определение 29. Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

Теорема 7. (свойства предела последовательности)

1. Финально постоянная последовательность сходится.
2. Если последовательность сходится, то предел единственен.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Предел функции

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Обозначение предела функции

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Если при прочтении данного материала у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме, также на форуме Вам помогут решить задачи по математике,геометрии, химии, теории вероятности и многим другим предметам.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: