Расширенное свойство предела произведения




ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Расширенное свойство предела произведения



Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

21. Непрерывность функции в точке.

 

21 Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точкех0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе:

 

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

 

Пример непрерывной функции:

 

y

 

f(x0)+e

f(x0)

f(x0)-e

 

0 x0-D x0 x0+D x

 

Пример разрывной функции:

 

y

 

f(x0)+e

f(x0)

f(x0)-e

x0 x

 

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

 

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

 

f(x) = f(x0) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х0.

 

Свойства непрерывных функций.

 

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.

 

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

 

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

 

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

Точки разрыва функции
 
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
 
Непрерывна при x = a.   Имеет разрыв при x = a.
 
Непрерывна при x = a.   Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

  • Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
  • Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

  • Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

  • Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

 

22. пределение. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение


 

при Δх, стремящемся к нулю.

Производная функции f в точке х0 обозначается f`(х0) (читается: «Эф штрих от Х0»).

Функцию, имеющую производную в точке x0, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1 - множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому x∈D1 число f`(x), получим новую функцию с областью определения D1. Эта функция называется производной функции y=f(x) и обозначается f` или y`.

Нахождение производной данной функции f называется диффиренцированием.

Физический и геометрический смысл производной

Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .



Читайте также:




Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.51.78 (0.01 с.)