Теоремы о непрерывных функциях.

Определение 22.1: (Условие Коши) Функция удовлетворяет в точке условию Коши, если:

Теорема 1: (Критерий Коши) Для того, чтобы функция имела в точке конечное предельное значение, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Теорема 2: Непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.

Теорема 3: Непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего максимального и минимального значения. (Дать определение )

Теорема 4: Пусть непрерывна на , причём , тогда:

Теорема 5: Пусть непрерывна на , тогда:

Определение 22.2: Функция называется возрастающей (убывающей) в точке, если существует такая окрестность этой точки, в которой данная функция является возрастающей (убывающей).

Теорема 6: Если функция дифференцируема в точке и , то эта функция возрастает (убывает) в данной точке.

Определение 22.3: Непрерывная на множестве функция имеет в точке глобальный минимум (максимум), если:

Определение 22.4: Непрерывная на множестве функция имеет в точке локальный минимум (максимум), если:

Замечание: Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума данной функции.

Теорема 7: (Ферма, необходимое условие экстремума)

Если функция непрерывна и дифференцируема в некоторой e -окрестности точки и достигает в ней экстремального значения, то: .

Замечание: Точки, в которых производная функции равна нулю мы будем называть стационарными точками этой функции.

Теорема 8: (Ролля) Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке , причём , то: .

Теорема 9: (Лагранжа) Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке , то: . Дайте геометрическую интерпретацию этой теоремы.

Теорема 10: (Коши) Пусть функции , непрерывны и дифференцируемы на , причём: , тогда: .

Теорема 11: Пусть непрерывна и дифференцируема на и , тогда: .

Теорема 12: (Правило Лопиталя)

a). Пусть функции и - определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , . Тогда:

б). В условии теоремы: .

15. Точки разрыва функции и их классификация

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

16. Понятие производной функции и ее геометрический смысл

Опр. Производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента. (Коши 1820 г.)

Функция, имеющая производную в некоторой точке x наз. дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной наз. дифференцированием.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной.

На графике функции y = f(x) имеем точки M ₀(x_0,y₀) и M (x;y). Прямая М₀Мназ. секущей и пересекает ось Ох под углом

tg = MK/M₀K = [f(x) – f(x₀)] / (x – x₀)

При х х₀ секущая становится касательной

lim tg = lim [f(x) – f(x₀)]/(x – x₀) = f `(x₀) = tg

х х₀ х х₀

 

 

17. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).

Доказательство: Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).. По условию теоремы Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что

Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).

Правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu'; 2) (u+v)' = u'+v'; 3) (uv)' = u'v+v'u; 4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2; 5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или .6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

20. Производная от сложной функции.

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

21. Понятие экстремумов функций.