Непрерывность функции в точке. Свойства

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в любой точке этого интервала

Свойства непрерывных функций:

1. Если f1(x) и f2(x) непрерывны в точке а, то непрерывна их сумма, произведение и частное.

2. Если функция u=fi(x) непрерывна в точке а, а функция y=f(u) непрерывна в точке u₀=fi(a), то непрерывна сложная функция y=f(fi(x)) в х=а

3. Если непрерывная функция имеет однозначную обратную функцию, то эта обратная функция непрерывна.

4. Все основные элементарные функции непрерывны там, где они определены. Т.е. во всех точ

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

 

Точки разрыва, их классификация

Точка а называется точкой разрыва функции, если эта функция в точке а не является непрерывной.

Точка а называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы и они не равны друг другу.

Точка а назывется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет хотя бы одного одностороннего предела или хотя бы 1 односторонний предел равен бесконечности или минус бесконечности.

Точка а называется устранимой, если существуют конечные односторонние пределы и они равны друг другу, но не равны значению функции в этой точке.

 

 

Производная функции, ее геометрический и механический смысл

Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или .

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть .

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.