Определители второго и третьего порядка, их свойства, вычисление разложением

Определители второго и третьего порядка, их свойства, вычисление разложением

по элементам строки (столбца), по правилу треугольника

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Разложение определителя по строке.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. где i=1,2,3.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов. Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы

на число, сложение и умножение матриц.

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется предел

Первый замечательный предел равен

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема 2.15 Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и .

 

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.
Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

 

Правила дифференцирования

Правило Лопиталя

Теорема 5.5 (Правило Лопиталя) Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:

 

Признак убывания функции

Если f’(x)<0 на некотором промежутке, то функция f(x) убывает на данном промежутке.

Строгое доказательство этих двух признаков изучается в курсе математического анализа, здесь же мы его приводить не будем.

Определение:

x₀ называется критической точкой функции f(x), если

1) x₀ – внутренняя точка области определения f(x);

2) f'(x₀)=0 или f'(x₀) не существует.

 

Теоремы Ферма, Ролля

Теорема Ферма. (Ферма, 1601-1665 – французский математик).

Пусть функция f(x), определенная в интервале (a, b), принимает в некоторой точке x=c этого интервала наибольшее или наименьшее значение.

В таком случае, если в точке x=c существует производная этой функции, то она равна нулю.

Теорема Ролля (Ролль, 1652-1719 – французский математик).

Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмента обращается в нуль, то есть f(a)=f(b)=0, то ее производнаяf^/(x) обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке x=c этого сегмента.

Теорема 1. Если переменная величина принимает только неотрицательные значения (y=f(x)0), то ее предел (если он существует) не может быть числом отрицательным.

Теорема 2. Если переменная величина принимает только неположительные значения (y=f(x)0), то ее предел (если он существует) не может быть числом положительным.

Теорема 3. Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента, она принимает значения только того знака, каков знак ее предела.

 

Теоремы Лагранжа, Коши

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [ а; b ];

2) дифференцируемы в интервале (а; b);

3) g' (x) ≠ 0 в этом интервале,

то в интервале (а; b) существует такая точка с, что имеет место равенство

 

Окружность

Парабола

 

Определители второго и третьего порядка, их свойства, вычисление разложением

по элементам строки (столбца), по правилу треугольника

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.