Определители второго и третьего порядка

Определителем квадратной матрицы 2-ого порядка A = называется число, равное - и обозначается символом , т. е. = - .

Определитель матрицы называется также детерминантом.

Для определителя матрицы A используются следующие обозначения , , detA, det(ajk).

 

Определителем квадратной матрицы третьего порядка A= называется число, равное = + .

 

Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы правой части данной формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Этому произведению прописывается соответствующий знак. Чтобы запомнить что с +, а что с -, полезно следующее правило.

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.

=1*5*9+2*6*7+4*8*3-3*5*7-2*4*9-6*8*1.

Минор- определитель, полученный с данного вычёркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a_jk обозначается M_jk. Алгебраическое дополнение элемента a_ik определителя называется его Минор, взятый со знаком (-1)^i+k. Алгебраическое дополнение элемента a_ik будем обозначать A_ik. В соответствие с определителем A_ik=(-1)^i+k M_ik

ТЕОРЕМА. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

 

 

9. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n-ОГО ПОРЯДКА.

О. Минором эл-та aik матрицы n-ого порядка наз. определитель порядка n-1 соответств. той матрице, кот. получ. из данной матрицы, в результате вычеркивания i-той строки и k-того столбца.

Минор эл-та aik обозн. Міk.

Алгебр. дополн. эл-та aik наз. его минор, взятый со знаком (-1)i+k и обозн. через Aik, т.е. Aik=(-1)i+k Міk.

О. Определитель порядка n наз. число ровное ∑_(k=1)^n▒aikMik и обозн. 𝛥, detA.

 

 

Системы m линейных уравнений с n неизвестными

 

Системой m системных уравнений с n неизвестными с x₁, x₂,…., x_n называется система вида , где a_ik, - числа.

 

Числа a_ik (i=1,2,…m) (k=1,2,…n) – коэффициенты.

Числа (i=1,2,…n) – свободные члены.

 

Решением линейной системы называется упорядоченная совокупность из n чисел c₁, c₂,… c_n, постановка которых вместо x₁, x₂, … x_n обращает в тождество каждое и уравнений этой системы.

 

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей

 

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, … x_n

Определителем системы называется определитель матрицы A, состоящей из коэффициентов уравнений этой системы. Обозначим его .

Обозначим через k определитель, полученный заменой в определителе столбца из коэффициента при неизвестной x_k, столбцом свободных членов системы

k= , k – одно и чисел 1,2,…n

ТЕОРЕМА

Если определитель системы отличен от 0, то система имеет единственное решение

x₁= , x₂= , x_n=

Метод решения системы по правилам, описанным в Теореме называется методом Крамера.

 

Понятие предела функции. Его геометрический смысл.

Рассмотрим ф-цию y=f(x) определим на не котором интервале содерж точку х=а. Определение:число А называется предметом ф-ции y=f(x) при х стремящейся к а, если для любого числа Е>0 существует такое b> 0, что при всех х удовлетворяющих условие

0>[x-a]<b(по модулю) неравенство 1

[f(x)- Ai]<E неравенство 2

Выясним геометрический смысл этого определения, воспользуемся графиком функции.

Неравенство 1 обозначает что х стоит от точки а не далее чем на b, т.е. пренадлежит интервалу(а-б, а+б) б-окресности точка а на оси Ох.

 

 

Односторонние пределы.

Односторо́нний преде́л — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.

Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

 

 

14. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно малая величина

Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно малой н а бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность an называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая y=uv, y`=y`v+uv`