Разбиение на классы. Отношение эквивалентности.

В самых различных вопросах втреч. разбиение тех или иных мн-в на попарно непересекающ. подмн-ва. Напр., плоскость можно разбить на прямые параллельные оси Х, жителей данного города можно разбить на группы по году рожд. и т. д.

Каждый раз, когда некот мн-во М представл. тем или иным способом как сумма попарно непересек. мн-в, мы говорим о различии мн-ва М на классы.

Пусть М – некот. мн-во и пусть некот. из пар (а,b) элементов из этого мн-ва явл. выделенными. Если (а,b) выдел. Пара, то мы говорим, эл-т а связан с b отношением 𝜑 и обознач. его символом а𝜑 b означает ∆а имеет ту же площадь, что и ∆b.

О. Отношением 𝜑 наз. отношение эквивалентности, если оно обладает след. Свойствами:

1. Рефлексивность а𝜑а для любого а𝜖М

2. Симетричность: если а𝜑b,то b𝜑a.

3. Транзитивность: если a𝜑b и b𝜑c,то a𝜑c.

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение 𝜑 (признак) позволяло разбить мн-во М на классы. Прямым (декарповым) произведением мн-в а1, а2, а3 … аn наз мн-во А1×А2×…Аn={(а_1 ┤,а_(,…) a_n ├)┤| a_1 ϵA,a_2 ϵA_2,m_n ϵA_n ├)}.

Если А1=А2=…=Аn, то мн-во наз. прямой степенью мн-ва А и обозн. Аn.

Бинарным отношением между эл-ми мн-в А и В наз. подмн-вом R мн-ва А×В. Если А=В, то отношение R наз. бинарным отношением на А. Вместо (x,y)𝜖R часто пишут xRy.

Примером отношения может служить отношение тождества Е – (a,b)𝜖E в том и только том случае, когда a=b. Иначе говоря, это отношение вида (а;а).

Обл. определения бинарного отношения R наз. мн-во 𝜎R={х⎸существует y такое, что (х;у)𝜖R}.

Обл. значений бинарн. отнош. R наз. мн-во 𝜌R={x⎸ существует y такое, что (y,x) 𝜖R}.

Для бинарн. отношений определены обычным образом теоретико-множественные операции, обьедин. Перечисления и т. д.

Дополнением бинарн. отношения наз. R между элементами А и В наз. мн-во -R=(A×B)\R.

Обратным отношением для бинарн. отношения R наз. мн-во R-1={(x,y)⎸(y,x)𝜖R}.

Образом мн-ва х относительно R наз. мн-во R(x)={y⎸существует x𝜖X такое, что (х;у)𝜖R}.Произведением отношения R1⊆A×B и R2⊆B×C наз. отношением R1* R2={(х;у) существует Z такое, что (х;z)𝜖R (z;у)𝜖R2}.

6 Матрицы. Осн определения

Матрица – с-ма m*n чисел распол-ых в прямоуг таблице из m строк и n столбцов. Числа этой табл наз элементами матр. Матр обозн-ют эл-ты а_i1 а_i2 а_in – i-ю строку (i=1,2..), эл-т: а_1к а_2к а_mk – k-ий столбец. а_ik - эл-т принадл-ий i-той строке к-тому столбцу матр, i и к – индексы эл-ов. Матр все эл-ты кот =0 наз нулевой матр, обоз-ся 0. . Вадр матр – матр, у кот число строк=числу столбцов (m=n): (1)

Порядком кв матр наз число её строк или столбцов. Кв матр 1-го порядка отждеств-ся со своим ед эл-том. Выпишим кв матр 1-х 3-ёх порядков: (а_1.1); ; . будем говорить что эл-ты а_1.1 а_1.2....а_n.n кВ матр (1) образует её гл диагональ, а эл-ты а_1.n а_2n-1 а_n1 – побочные диагонали. Диагон матр - кв матр, у кот все эл-ты не принадлеж-ие гл диагонали=0, т.е. это матр . Единичная матр – диагон матр у кот все эл-ты гл диагонали=1. Обозначим их Е. . Треуг матр – кв матр все эл-ты кот расположены на одну сторону от гл диагонали=0. Различают верхнюю и нижнюю треуг матр.

 

Действия над матрицами

Линейные действия над матрицей – сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число.

Сложение м вычитание матриц определены только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц A=(a_ik)_mn и B=(b_ik)_mn называется такая матрица C=(c _ik)_mn, что c _ik=a_ik+b_ik (i=1,2,3….m; k=1,2,3….n), т. е. матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матрицы слагаемых. Сумма двух матриц A и B обозначается A+B.

Под суммой A+B+C трёх матриц A,B,C понимается матрица, полученная в результате последовательного сложения этих матриц, т. е. A+B+C=(A+B)+C. Аналогично определяется сумма матриц для большого числа слагаемых.

Разностью A-B двух матриц A=(a_ik)_mn и B=(b_ik)_mn называется матрица D, такая что d _ik=a_ik+b_ik.

Произведением матрицы A=(a_ik)_mn на число α называется матрица B=(b_ik)_mn, для которой b_ik= α a_ik (i=1,2,3….m; k=1,2,3….n), т. е. матрица, полученная из данной умножением всех её элементов на число α. Обозначается

A α или α A.

Матрицу (-1)A будем называть матрицей, противоположной матрице A и обозначать –A.

 

Умножение матриц.

Это действие определяется для согласованных матриц.

Матрица A называется согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. (Матрица A_mn согласована с матрицей B_nl – «ширина» матрицы A= «высоте» матрицы B).

Следует отметить, что:

· Из согласованности матрицы A с матрицей B не следует согласованности матрицы B с матрицей A.

· Если A и B квадратные матрицы одного порядка, то они взаимносогласованы, матрица A согласована с матрицей B, матрица B согласована с матрицей A.

Произведением матрицы A_mn =(a_ik)_mn на матрицу B_nl=(b_ik)_nl называется C_ml=(c _ik)_ml, для которой

c_ik=a_i1b_1k + a_i2b_2k+….+ a_inb_nk, т. е. c_ik матрицы C_ml равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A_mn на соответствующие элементы k-атого столбца матрицы B_nl

Матрица C_ml имеет m строк (как матрица A_mn) и l столбцов (как матрица B_nl)