Отображение мн-в. Понятие ф-и.

ОПЕРАЦИИ НАД МН-ВАМИ.

1. Коммутативность объединения АUB=BUA

2. Коммутативность пересечения А пересечение В=В пересечение А

3. Сочетательный закон AU(BUC)=BU(AUC)

4. То же и для пересечения.

5. Распределительный относительно пересечения А п (ВUC) = A п В U A п С

6. Распределительный относительно объединения АU(BпС) = (АUB) п (AUC)

7. Закон поглощения АU(AпВ)=А

8. Закон поглощения Ап(АUB)=A

9. АUA=А

10. AпА=A

 

ОТОБРАЖЕНИЕ МН-В. ПОНЯТИЕ Ф-И.

Пусть M и N – 2 произвольных мн-ва. О. На M определенная функц. f, принимающ. значение из N, если каждому элементу х𝜖М наз. Областью определения данной ф-и, а N – ее обл. значений. Для мн-в произвольной природы вместо термина функция часто польз. термином отображение, говоря об отображении одного мн-ва в другое.

Если а – элемент М, то соответств. ему элемент b=F(a) из N наз. образом a при отображении F. Совокупность всех тех элементов а из М, образом кот. явл. данный элемент b из N, наз. прообразом b и обознач. P^-1(b).Пусть А - некот. мн-во из М совокупность.

всех элементов F(a), где (а𝜖А) наз. образом А(обозн. F(A)). В свою очередь для каждого мн-ва B из N опред-ся его поный прообраз р^-1(B), а именно F^-1(B) есть совокупность всех элементов из M, образы кот. принадлежат В.

О. Будем говорить, что F есть отображение мн-ва М на N, если F(M)=N, такое отображение мн-ва наз. сюрьекцией. Если для любых различных элементов х₁, х₂ из M их образы у₁=f(x₁), y₂=f(x₂) их образы также различны, то наз. f инъекцией. Отображение F:M⟶N, кот. одновр. явл. сюръекцией и инъекцией наз. взаимно однозначным соответствием между M и N.

 

Нечёткие множества

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

 

Действия над матрицами

Линейные действия над матрицей – сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число.

Сложение м вычитание матриц определены только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц A=(a_ik)_mn и B=(b_ik)_mn называется такая матрица C=(c _ik)_mn, что c _ik=a_ik+b_ik (i=1,2,3….m; k=1,2,3….n), т. е. матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матрицы слагаемых. Сумма двух матриц A и B обозначается A+B.

Под суммой A+B+C трёх матриц A,B,C понимается матрица, полученная в результате последовательного сложения этих матриц, т. е. A+B+C=(A+B)+C. Аналогично определяется сумма матриц для большого числа слагаемых.

Разностью A-B двух матриц A=(a_ik)_mn и B=(b_ik)_mn называется матрица D, такая что d _ik=a_ik+b_ik.

Произведением матрицы A=(a_ik)_mn на число α называется матрица B=(b_ik)_mn, для которой b_ik= α a_ik (i=1,2,3….m; k=1,2,3….n), т. е. матрица, полученная из данной умножением всех её элементов на число α. Обозначается

A α или α A.

Матрицу (-1)A будем называть матрицей, противоположной матрице A и обозначать –A.

 

Умножение матриц.

Это действие определяется для согласованных матриц.

Матрица A называется согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. (Матрица A_mn согласована с матрицей B_nl – «ширина» матрицы A= «высоте» матрицы B).

Следует отметить, что:

· Из согласованности матрицы A с матрицей B не следует согласованности матрицы B с матрицей A.

· Если A и B квадратные матрицы одного порядка, то они взаимносогласованы, матрица A согласована с матрицей B, матрица B согласована с матрицей A.

Произведением матрицы A_mn =(a_ik)_mn на матрицу B_nl=(b_ik)_nl называется C_ml=(c _ik)_ml, для которой

c_ik=a_i1b_1k + a_i2b_2k+….+ a_inb_nk, т. е. c_ik матрицы C_ml равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A_mn на соответствующие элементы k-атого столбца матрицы B_nl

Матрица C_ml имеет m строк (как матрица A_mn) и l столбцов (как матрица B_nl)

Системы m линейных уравнений с n неизвестными

 

Системой m системных уравнений с n неизвестными с x₁, x₂,…., x_n называется система вида , где a_ik, - числа.

 

Числа a_ik (i=1,2,…m) (k=1,2,…n) – коэффициенты.

Числа (i=1,2,…n) – свободные члены.

 

Решением линейной системы называется упорядоченная совокупность из n чисел c₁, c₂,… c_n, постановка которых вместо x₁, x₂, … x_n обращает в тождество каждое и уравнений этой системы.

 

Односторонние пределы.

Односторо́нний преде́л — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.

Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

 

 

14. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно малая величина

Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно малой н а бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность an называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая y=uv, y`=y`v+uv`

Выпуклость. Точки перегиба

Гр-к ф-ии у= f(x) наз выпуклым вниз (вверх) в данном промежутке, если он целиком расположен выше (ниже) касат в его произвол-ой точке.

Т1 если 2-я произв-я ф-ии у= f(x) в данном промеж «+», то гр-к её явл выпуклым вниз в этом промеж; если f``(x)<0, то гр-к ф-ии явл выпуклым вверх в соотв промеж

Точкой перегиба графика ф-ии у= f(x) наз такая его точка М₀ в кот выпуклость мен-ся на вогнутость (по отнош к одному и тому же напрвл вверх или вниз)

Т2 если в точке х х₀ 2-я произв-я ф-ии у= f(x) обращ-ся в 0 и меняет знак при переходе ч-з неё, то М₀ (х₀, у₀) – точка перегиба гр-ка это ф-ии

 

Асимптоты.

Асимптота – прямая, к кот неограниченна приближ-ся данная линия, когда её точка неограниченно удал-ся от начала координат.

Прямая х=а наз вертик асимпт гр-ка ф-ии у= f(x), если хотя бы одно из предельных значений явл . (напр. прямая х=а вертик асимпт гр-ка ф-ии )

Прямая наз наклонной асимпт гр-ка ф-ии у= f(x), если эта ф-ии представлена виде +0(x)

Т гр-кф-ии у= f(x) имеет при наклонную асимпт , тогда сущ 2 конеч предела

 

Схема исследования ф-ии.

Исследов ф-ий и построение гр-ков можно проводить след образом:

1)найти обл опред ф-ий, её точки разрыва;

2) изучить изменение ф-ий пристремлении аргкмента к концам промеж обл опред;

3) н-ти точки экстремумов в промеж возр и убыв ф-ий;

4) выч-ть значение экстремумов, построить соответств точки;

5) опред-ть промеж выпукл и вогнут гр-ка, н-ти точки перегиба;

6) н-ти точки пересечения с координ осями;

7) н-ти асимптоты гр-ка ф-ии

 

 

Ф-ла Ньютона-Лейбница

Связь между опред и неопред интегралом выражает след Т: опред интегр от непрерывной ф-ии =разности знач-й любой её первообр-й для верхн и нижн предела интегрирования . Док-во: рассм интегр с переменной верхн пределом: Ф(х)= , в кот – непрерывно, Ф`(х)=f(x). Пусть F(x) – первообр-е ф-ии f(x). т.е. F`(x)= f(x). Итак ф-ии Ф(х)и F(x) имеют одинаковые производ-е на основании св-ва первообр заключаем что Ф(х)= F(x)+С. Поскольку F(а)=0, при х=а из послед рав-ва получаем 0= F(x)+С, откуда С=- F(а). Ф(х)= F(x)- F(а).

, где F`(x)= f(x). В частности при х=b - ф-ла Ньютона-Лейбница.

Напр

 

Перестановки и сочетания.

Перестановкой из n-эл-ов Р_n наз число способов, при помощи кот можно разложить nразличных эл-ов на nразличных местах. Можно показать что Р_n=1*2*3*….*(n-1)n (1). Для обозначения произведения 1*2*3*….*(n-1)n испол-ся символ n! (читается n пактериал) итак 1*2*3*…*(n-1)n=n! (2).

Например: подсчитаем какими способами можно расставить на полки 5 различных книг. З-ча сводится к нахождению из числа перестановок из 5-ти эл-ов. Число таких перестановок =произв-ию 1*2*3*4*5=120, => сущ 120 способов расстановки 5-ти книг на полке.

Сочетанием из n эл-ов по m (обозн-ся ) наз число способоы при помощи кот можно выбрать m эл-ов взятых из данных nэл-ов. З-чи перест и сочет связаны простой з-чей: выбрав m эл-ов из n и затем расположив их на m различных местах очевидно получим

 

Вероятность события

Вероятность событий это численная мера, которая определяет степень возможности появления события в одном испытании. Для подсчета вероятности существуют различные способы.

Классический определ вероятности базируется на предположении о равновозможности всех элементарных событий конечного пространства.

Из классического определ следуют некоторые свойства вероятности:

1. Вероятность достоверное событие и оно = 1

2. Вероятность не возможного события = 0

3. Вероятность случайного события заключается между 0 и 1

4. Аксиома слож. Если события А и В несовместимы то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

 

ОПЕРАЦИИ НАД МН-ВАМИ.

1. Коммутативность объединения АUB=BUA

2. Коммутативность пересечения А пересечение В=В пересечение А

3. Сочетательный закон AU(BUC)=BU(AUC)

4. То же и для пересечения.

5. Распределительный относительно пересечения А п (ВUC) = A п В U A п С

6. Распределительный относительно объединения АU(BпС) = (АUB) п (AUC)

7. Закон поглощения АU(AпВ)=А

8. Закон поглощения Ап(АUB)=A

9. АUA=А

10. AпА=A

 

ОТОБРАЖЕНИЕ МН-В. ПОНЯТИЕ Ф-И.

Пусть M и N – 2 произвольных мн-ва. О. На M определенная функц. f, принимающ. значение из N, если каждому элементу х𝜖М наз. Областью определения данной ф-и, а N – ее обл. значений. Для мн-в произвольной природы вместо термина функция часто польз. термином отображение, говоря об отображении одного мн-ва в другое.

Если а – элемент М, то соответств. ему элемент b=F(a) из N наз. образом a при отображении F. Совокупность всех тех элементов а из М, образом кот. явл. данный элемент b из N, наз. прообразом b и обознач. P^-1(b).Пусть А - некот. мн-во из М совокупность.

всех элементов F(a), где (а𝜖А) наз. образом А(обозн. F(A)). В свою очередь для каждого мн-ва B из N опред-ся его поный прообраз р^-1(B), а именно F^-1(B) есть совокупность всех элементов из M, образы кот. принадлежат В.

О. Будем говорить, что F есть отображение мн-ва М на N, если F(M)=N, такое отображение мн-ва наз. сюрьекцией. Если для любых различных элементов х₁, х₂ из M их образы у₁=f(x₁), y₂=f(x₂) их образы также различны, то наз. f инъекцией. Отображение F:M⟶N, кот. одновр. явл. сюръекцией и инъекцией наз. взаимно однозначным соответствием между M и N.

 

Нечёткие множества

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).