Определители высших порядков

Рассмотрим квадратную матрицу размера

.

(2.3)

Определение 2.2. Определителем (или детерминантом) высшего порядка, соответствующим данной квадратной матрице, называют число, получаемое из элементов матрицы А по определенному закону — закону раскрытия определителя.

Это число обозначается

.

(2.4)

Прежде, чем формулировать закон раскрытия определителей высшего порядка, введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Определение 2.3. Минором, соответствующим данному элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Миноры обозначаются буквой М_ij с индексами, соответствующими вычеркнутым номерам строк и столбцов. Так, например, минор М₁₂, соответствующий элементу а₁₂ определителя (2.4), есть определитель

.

(2.5)

Он получается из определителя (2.4) вычеркиванием первой строки и второго столбца.

Определение 2.4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если эта сумма нечетна.

Алгебраическое дополнение элемента а_ij обозначается через A_ij. Здесь i означает номер строки, а j —номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается следующим равенством:

.

(2.6)

Определение 2.5. Определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов какой-либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

для любых i	(2.7)
или для любых j.	(2.8)

Определение 2.6. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

В качестве примера использования формул (2.7) и (2.8) приводятся формулы разложения определителя третьего порядка

(2.9)

по элементам первой строки

(2.10)

и элементам второго столбца

.

(2.11)

Поработаем с формулой (2.10) и раскроем миноры по формуле (3.2):

Итак, раскрыв скобки, получим.

(2.12)

Для запоминания правила вычисления определителя третьего порядка используют модель Саррюса, которая приведена на рис. 2.1. Элементы определителя изображены точками. Перемножают элементы, соединенные линиями, и полученные произведения складывают, снабдив их соответствующими знаками.

Рис 2. 1 Модель Саррюса

Пример 2.2. Вычислить определитель третьего порядка для матрицы:

(2.13)

Воспользуемся формулой (2.7) и раскроем определитель, например, по элементам третьей строки (i=3):

(2.14)

Предварительно вычислим алгебраические дополнения:

Подставим полученные числовые значения алгебраических дополнений в формулу (3.14) и вычислим определитель

(2.15)

Полученное решение можно проверить по формуле (2.12).

 

Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителя:

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется:
2. Если матрица А имеет нулевую строку или нулевой столбец, то и определитель равен нулю: .
3. Если переставить местами две любые строки или два любых столбца, то определитель поменяет знак.
4. Если А имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то .
5. Если все элементы какой-либо строки или столбца матрицы умножить на число, то определитель умножится на это число.
6. Если определитель имеет две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, то он равен нулю.
7. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число.
8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

(2.16)

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Определение 3.3. Если А — квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая А ^-1и удовлетворяющая условию

(3.3)

Теорема 3.1. (об обратной матрице): Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Для простоты на примере матрицы третьего порядка приведем последовательность вычислений, которая позволяет построить обратную матрицу.

Пусть

(3.4)

Невырожденная матрица, т. е. её определитель

(3.5)

Составим новую матрицу В, заменяя в матрице А каждый ее элемент а_ij его алгебраическим дополнением А_ij, деленным на определитель |A | матрицы А:

(3.6)

Построим матрицу В^Т, транспонированную по отношению к матрице В:

(3.7)

Покажем, что матрица В^Т, является обратной матрице А. Для этого составим произведение:

Так как. числители элементов на главной диагонали равны |A| (раскрытие определителя по элементам строки), а числители всех остальных элементов равны нулю (сумма произведений элементов одной строки или столбца на алгебраические дополнения другой строки или столбца равна нулю).

Таким образом, откуда Итак, способ построения обратной матрицы получен:

.

(3.8)

Пример 3.1. Дана матрица

Найти обратную матрицу.

Вычислим определитель матрицы А:

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя по формулам

Следовательно,

 

11.Элементарные преобразования матриц

При вычислении обратной матрицы, как правило, приходится вычислять большое число определителей. Чтобы облегчить этот процесс, применяют специальные приемы, которые называют элементарными преобразованиями матриц.

Элементарными называются следующие преобразования:

· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

· перемена местами строк (столбцов) матрицы;

· отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

Пример 4.1. Вычислить определитель матрицы:

(4.1)

Преобразуем матрицу так, чтобы не вычислять много миноров. Для этого в первом столбце во второй, третьей и четвертой строках получим нули. Работу начнем со второй строки, первую строку перепишем без изменений. Воспользуемся элементарными преобразованиями матрицы и ко второй строке прибавим первую, умноженную на :

(4.2)

Теперь к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на :

(4.3)

И, наконец, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на :

(4.4)

Определитель полученной матрицы равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение:

Пример 4.2. Вычислить определитель матрицы:

(4.5)

Преобразуем матрицу так, чтобы под главной диагональю стояли нули. ПоДля этого в первом столбце во второй, третьей и четвертой строках получим нули. Работу начнем со второй строки, первую строку перепишем без изменений. Воспользуемся элементарными преобразованиями матрицы и ко второй строке прибавим первую, умноженную на :

(4.6)

Теперь к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на :

(4.7)

И, наконец, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на :

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера

.

(4.1)

Выделим в ней несколько миноров.

Определение 3.1. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Определение 3.2. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 4.4. Найти ранг матрицы:

(4.2)

Определитель матрицы (3.2) равен нулю. Все миноры 3-го порядка равны нулю, например:

Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля:

Значит, .

Свойства ранга матрицы

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется: .
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не меняется при умножении какой-либо строки (или столбца) на число, не равное нулю.
4. Ранг матрицы не меняется при перестановке местами строк (или столбцов) этой матрицы.
5. Ранг матрицы не меняется, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на число.

Использование этих свойств позволяет в ряде случаев упростить вычисления ранга.

 

Пример 4.5. Найти ранг матрицы:

(4.3)

Определитель матрицы (4.3) равен нулю, поскольку матрица имеет пропорциональные строки, например, первую и третью. Значит ранг матрицы (4.3) будет меньше 4. Выполним некоторые элементарные преобразования: к третьей строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на , к четвертой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2. Получим:

Полученная матрица, очевидно, имеет ранг 2. Итак, .

Метод окаймления

При вычислении ранга можно использовать метод окаймления, состоящий в следующем. Пусть матрица имеет ненулевой минор порядка .Тогда можно рассматривать только миноры порядка , которые содержат упомянутый ненулевой минор порядка . Если все миноры большего порядка равны нулю, то .

Пример 4.6. Найти ранг матрицы, используя метод окаймления:

(4.4)

Эта матрица имеет ненулевой минор

Теперь достаточно рассмотреть не все миноры третьего порядка, а только миноры, которые содержат указанный ненулевой минор второго порядка:

Итак, .

Система линейных уравнений

Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

(5.1)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы уравнений называются равносильными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.

С помощью теорем линейной алгебры можно доказать, что следующие преобразования, которые принято называть элементарными, приводят к равносильным системам:

· перемена местами двух любых уравнений;

· умножение обеих частей уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

· прибавление к обеим частям одного из уравнений другого уравнения, умноженного на любое действительное число.