Решение системы линейных уравнений матричным методом

Обозначим через А матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

(5.2)

Через X — матрицу-столбец, составленную из неизвестных:

(5.3)

Через В — матрицу-столбец, составленную из свободных членов:

(5.4)

Произведение есть матрица-столбец:

(5.6)

Тогда система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

(5.7)

Если матрица А системы невырожденная, т. е. , то система уравнений (5.7) решается следующим образом:

· умножаем обе части уравнения на матрицу , обратную матрице А:

(5.8)

· используя сочетательный закон умножения матриц, можно записать:

(5.9)

· так как , а решение матричного уравнения получится в виде:

(5.10)

 

Пример 4.1. Решить матричным способом систему уравнений

В матричной форма эта система запишется в виде . Здесь

Матрица найдена в примере 4.1:

Решение системы записываем в виде:

Отсюда следует, что .

Формулы Крамера

Рассмотрим еще раз систему n уравнений с n неизвестными , для которой . Запишем матричное равенство (5.10) в следующем виде:

(5.11)

Или

(5.12)

Вспомним, что две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

(5.13)

Обратим внимание на то, что выражения в круглых скобках равенств (4.13) представляют собой определители, полученные из определителя системы заменой соответствующего номеру неизвестного столбца столбцом свободных членов данной системы уравнений (4.1). Обозначим их следующим образом:

	(5.14)
…

С учетом этих обозначений формулы (4.13) можно переписать в виде:

(5.15)

Пример 4.2. Решить систему уравнений методом Крамера

Ранее определитель системы

уже был вычислен (пример 4.1).

Вычислим определители неизвестных:

Используя формулы Крамера, найдем:

Множества. Основные понятия

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать, перечислив все его элементы: (1.1) При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

Символом обозначается отношение принадлежности. Запись означает, что элемент является элементом множества .

Определение 1.1. Множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

(1.2)

Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают

(1.3)

Пример 1.1. Даны три множества , и . В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись .

Пример 1.2. Даны два множества и . Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

При рассмотрении способов задания множеств возникает проблема их эффективного описания. Частично эту проблему можно решить, если указывать условие, которому удовлетворяет любой элемент данного множества:

(1.4)

Пример 1.3. Множество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

Зачем?

Пример 1.4. Парадокс брадобрея. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:

(1.5)

Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:

	(1.6)
Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (1834-1923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике. В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество. Если два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируются перекрывающимися областями.
	Джон Венн
Пример 1.5. Даны два множества , и . Для этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают .

Пример 1.6. Дано множество . Тогда =5.

 

Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества:

Операции над множествами

Рассмотрим методы получения новых множеств их уже существующих.

Определение 1.4. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в множество А, и во множество В. Это записывается следующим образом:

	(1.3)
Свойства операции пересечения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. ; 4. ; 5. Ø = Ø.

Пример 1.7. Если множество А есть интервал (1; 5) а множество В есть интервал (2; 7), то пересечение множеств А и В есть интервал (2; 5): .

Определение 1.5. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или А и В одновременно. Это обозначается следующим образом:

	(1.4)
Свойства операции объединения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. (дистрибутивность); 4. ; 5. ; 6. Ø = Ø.

Пример 1.8. Если множество А есть отрезок [1; 3] а множество В есть отрезок [2; 5], то объединение множеств А и В есть отрезок [1; 5]: .

Определение 1.6. Дополнением множества А называется множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству А.

Дополнение множества А будем обозначать через

Свойства операции дополнения множеств: 1. ; 2. Ø 3.

Пример 1.9. Если множество А есть отрезок [1; 3], то множество представляет собой объединение двух интервалов: .

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В:

.

(1.5)

 

Операция вычитания множеств не коммутативна: . Из определения разности множеств следует, что имеет место равенство .

Пример 1.10. Если множество А есть отрезок , а множество В есть отрезок , то разность представляет собой полуинтервал , а полуинтервал .

Определение 1.8. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множествам А и B, но не принадлежащих ихобщим областям.

.

(1.6)

 

Другими словами симметрическая разность двух множеств и состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств: либо только , либо только .
Операция симметрической разности для трех множеств ассоциативна:

Пример 1.11. Если , , то .

Определение 1.9. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всевозможных пар элементов , у которых и .

(1.7)

 

Пример 1.12. Даны два множества: , . Для этих множеств можно составить два варианта декартового произведения этих множеств: и

Из примера видно, что множества и различны.

 

Пример 1.13. Пусть множество А есть отрезок ,на некоторой прямой, а множество В есть отрезок другой прямой. Тогда декартово произведение , включающее многочисленные пары координат, составит прямоугольник на плоскости.

.

Тождества теории множеств.

То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных (равенство, верное при любых значениях переменных),

Запишем еще раз некоторые свойства операций с множествами:

1.		Коммутативность
2.		Ассоциативность
3.		Дистрибутивность
4.	Ø = Ø.
Ø = Ø.
5.
6.		Формулы двойственности
7.		Формулы поглощения

 

21 .Множество N натуральных чисел

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е натуральные числа - это естественные числа.

Всего существуют два подхода к пониманию натуральных чисел- это числа, используемые при:
1) перечислении (нумеровании) предметов (например:первый, второй, третий…и т.д.). Этот подход, общепринятый во многих странах мира (в том числе и в России);
2) обозначении количества предметов (например: нет предметов, один предмет, два предмета…и т.д.). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Натуральными числами не являются: отрицательные и нецелые числа.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N
Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его.

23. Счетные и несчетные множества.

 

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: "алеф-нуль")

Свойства

1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).^[1]
2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.^[1]
3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры

Счётные множества

• Простые числа
• Натуральные числа
• Целые числа
• Рациональные числа
• Алгебраические числа
• Кольцо периодов
• Вычислимые числа
• Арифметические числа
• Множество всех конечных слов над счётным алфавитом
• Множество всех слов над конечным алфавитом
• Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
• Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
• Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны

Несчётные множества

• Вещественные числа
• Комплексные числа
• Числа Кэли

24..Множество Q рациональных чисел

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число, к примеру 1/4. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т.п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т.п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.