Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

29.Комбинаторика Правило умножения

Элементы комбинаторики

Пусть имеется n различных объектов произвольной природы. Выберем из них к объектов. Комбинаторика - это раздел математики, который изучает, сколькими способами можно осуществить этот выбор согласно заданным условиям. Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

 

Правило умножения

Если объект А можно выбрать к₁ различными способами, а объект В - к₂ раз­личными способами, то пару объектов А и В можно выбрать к₁ · к₂ различными спо­собами.

Другая интерпретация этого правила такова. Пусть первое действие можно со­вершить к₁ различными способами, второе – к₂ различными способами. Тогда оба действия можно совершить к₁ · к₂ различными способами.

Пример 1. Пусть из пункта A в пункт B имеется 5 дорог, а из пункта B в пункт C - 6 дорог.

1) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт C?

2) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно?

3) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Решение. 1) Существует 5 различных путей из пункта A в пункт B - это 5 спо­собов выполнения первого действия, при этом существует 6 различных путей из пункта B в пункт C - это 6 различных способов выполнения второго действия. Со­гласно правилу умножения, число различных способов выбора пути из пункта A в пункт C равно 5·6 = 30.

2) Из пункта A в пункт B ведет 5 дорог, значит, имеется 5 способов проезда ту­да и 5 способов проезда обратно. По правилу умножения число всех способов проезда туда и обратно равно 5·5 = 25.

3) Рассуждаем аналогично пункту 2), но учитываем, что дороги туда и обратно не должны совпадать, т.е. при выборе одного из 5-ти способов проезда «туда» обрат­но можно вернуться одним из 4-х способов. Поэтому число различных способов про­ехать из пункта A в пункт B и вернуться обратно, но обязательно другой дорогой, равно 5·4 = 20.

Пример 2. В урне находятся 10 белых, 15 синих и 20 красных карточек. Выни­мают три карточки и выкладывают их одну над другой. Сколькими различными спо­собами можно это сделать, чтобы карточки расположились в порядке цветов россий­ского флага?

Решение. В таких задачах предполагается, что все карточки различимы, напри­мер, перенумерованы. Тройку карточек можно образовать тремя действиями.

1- е действие. Возьмем одну красную карточку. Это действие можно совершить 20-ю способами (по числу различных красных карточек в урне).

2- е действие. К красной карточке добавим сверху синюю, которую можно взять 15-ю различными способами (по числу различных синих карточек в урне).

3- е действие. К выбранной паре присоединим сверху белую карточку, которую можно взять 10-ю различными способами (по числу белых карточек в урне).

Число различных способов выбора равно 20·15·10 = 3 000

Пример 3. В меню ресторана 5 первых блюд, 10 вторых и 7 третьих. Сколько различных вариантов меню можно составить?

Решение. Первое блюдо можно выбрать пятью способами, второе - десятью, а третье - семью. Значит, общее количество способов составляет 5·10·7 = 350.

30.Комбинаторика Правило суммы

 

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Правило сложения

Если объект А можно выбрать к₁ различными способами, а объект В - к₂ раз­личными способами, то выбрать один объект А или В можно к₁ + к₂ различными спо­собами.

Пример 4. В ящике лежат 2 красных, 3 зелёных и 4 чёрных шара. Сколькими способами можно выбрать цветной шар?

Решение. Выбрать цветной шар - значит выбрать красный или зелёный шар. Количество способов равно 2 + 3 = 5.

 

31.Формулы включения-исключения