Связь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, основание которых представляют целые степени двойки: 2³ - для восьмеричной и 2⁴ - для шестнадцатеричной.

Каждая восьмеричная цифра представляется триадой двоичных цифр, а каждая шестнадцатеричная цифра - тетрадой двоичных цифр.

Перевод целых и дробных чисел из двоичной в восьмеричную и из двоичной в шестнадцатеричную системы счисления производится с учетом следующих таблиц:

Таблица 1

Восьмеричное число	Триада

 

Таблица 2

Шестнадцатеричное число	Тетрада
A
B
C
D
E
F

 

Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления число разбивается на триады (тетрады) двоичных цифр. Причем для целого числа триады (тетрады) находятся, начиная с младшего разряда, двигаясь влево к старшему разряду. Если старшая триада (тетрада) не получается из-за нехватки цифр, то слева к числу приписывается нужное количество нулей. Для дробного числа триады (тетрады) находятся, начиная со старшего разряда, двигаясь вправо к младшему. Если количество разрядов не кратно трём (четырем), то справа приписывается нужное количество нулей. Далее каждой триаде (тетраде) ставится в соответствие восьмеричная (шестнадцатеричная) цифра.

При обратном переводе вместо каждой восьмеричной (шестнадцатеричной) цифры записывается эквивалентная ей триада (тетрада) двоичных. Положение запятой между целой и дробной частями числа сохраняется. Нули слева от целой части и справа от дробной части опускаются.

 

Примеры:

а)	1101110011.01101012	=				011.			=	1563.3248
б)	2076.3058 =				6,				=	10000111110,0110001012
					110,

 

в)	11011011110100.10110011012=				0100,				=
				F		B

= 36F4.B34₁₆

г) A2E.С1D₁₆ = 101000101110.110000011101₂

 

 

2. Формы представления чисел в ЦВМ

 

В памяти ЦВМ числовая информация может быть представлена в различных формах.

В случае с фиксированной запятой для всех чисел, над которыми выполняются операции, положение запятой строго зафиксировано между целой и дробной частями числа.

Обычно в ЦВМ используются два способа расположения запятой:

перед старшим разрядом, то есть целая часть числа равна нулю, и в операциях участвуют правильные дроби;

после младшего разряда, то есть дробная часть числа равна нулю, и в операциях участвуют только целые числа.

 

Разрядная сетка с указанием номера разряда и его веса для дробного числа имеет вид:

	2^-1	2^-2	2^-3		2^-(n-1)	2^-n
				...	n-1	n
Знак	цифровая часть числа

Разрядная сетка для целого числа имеет вид:

 

2^n-1	2^n-2				2^1	2^0
n	n-1	…	…	…
знак	цифровая часть числа

 

Если целые числа представляются без знака, то диапазон их представления в заданной разрядной сетке может быть увеличен за счет использования разряда, отводимого под знак числа.

Число с фиксированной запятой представляется следующим образом:

 

[Х]ф.з.=Х*Км, (2)

 

где: [Х]ф.з.- машинное представление числа с фиксированной запятой;

Х - исходное число,

Км - масштабный коэффициент, который выбирается из условий конкретной разрядной сетки и не должен допускать выхода исходных чисел и результатов вычислений за пределы допустимого диапазона.

Масштабный коэффициент должен быть единым для всех обрабатываемых в машине чисел и получаемых результатов, он хранится отдельно от представляемых чисел и учитывается при выдаче конечного результата.

Число в форме с фиксированной запятой должно удовлетворять следующему неравенству:

 

[X]ф.з.min £ [X]ф.з. £ [X]ф.з.max (3)

 

Если нарушена левая часть неравенства, то имеем машинный ноль; если нарушена правая часть неравенства, то произошло переполнение разрядной сетки.

Представление чисел в форме с плавающей запятой позволяет избежать масштабирования исходных чисел, а также увеличить диапазон и точность представляемых чисел.

Число в нормальной форме имеет вид:

Х = m*q ^p, (4)

 

Где: q- основание СС,

p -целое число - порядок числа Х,

m -мантисса числа.

Полулогарифмической эта форма представления называется потому, что в логарифмической форме представлено не всё число, а только его характеристика q.

Поскольку, изменяя одновременно определённым образом мантиссу и порядок числа Х, можно по выражению (4) получить любое количество представлений числа Х, то на мантиссу m накладывается следующее ограничение, чтобы избежать неоднозначности в представлении чисел

q ^-1 £ I mI £ 1. (5)

 

Если для числа Х в форме с плавающей запятой выполнены условия (5), то число Х называется нормализованным, мантисса представляется правильной дробью, а ее старший разряд с основанием q отличен от 0.

Для двоичной СС неравенство (5) имеет вид:

 

0.100...0 £ lml £ 0.11...1. (5')

 

Разрядная сетка для числа с плавающей запятой состоит из двух частей: для порядка и для мантиссы.

 

порядок	мантисса
	m-1	m-2					n
Знак порядка	2 ^m-1	2 ^m-2	2^-0	Знак мантиссы	2^-1	2^-2	2^-n

Мантисса, удовлетворяющая условию (5') называется нормализованной, а операция преобразования ее к виду (5') называется нормализацией.

Чтобы нормализовать мантиссу, ее нужно сдвигать вправо для целого числа и влево для дроби на столько разрядов, чтобы целая часть мантиссы была равна нулю, а старший разряд мантиссы был равен 1, после чего к порядку целого числа прибавить (а из порядка дроби вычесть) столько единиц, на сколько разрядов был произведен сдвиг.

Для упрощения операций над порядками чисел с плавающей запятой, порядки представляют целыми положительными числами без знака, используются так называемые смещенные порядки. Чтобы получить смещенный порядок, нужно к исходному порядку p прибавить целое число - смещение М = 2 ^k, где k-число двоичных разрядов, используемых для модуля порядка.

Смещенный порядок

 

Рсм = Р+М (6)

 

всегда является положительным. Для его представления необходимо такое же число разрядов, как и для модуля и знака порядка р.