Формулы включения-исключения

Формулы включения-исключения позволяют определить число элементов в объединении нескольких конечных множеств. Рассмотрим случаи двух и трех множеств. Число элементов конечного множества будем обозначать через .

Тогда для двух конечных множеств А и В справедлива формула,

(7.1)

Справедливость этой формулы можно проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.

Действительно общее количество элементов в объединении двух множеств будет складываться из количества элементов в области А и из количества элементов в области В без двойного подсчета элементов в пересечении двух областей (заштрихованная область)

Для трех конечных множеств А, В и С справедлива формула

(7.2)

 

Общее количество элементов в объединении трех множеств будет складываться из количества элементов в области А, из количества элементов в области и В количества элементов в области С без двойного подсчета элементов в пересечении пар областей (заштрихованная область), но с учетом области тройного наложения.

Пример 1.14. Порезультатам тестов из 25 слушателей студенческой группы 12 человек показали себя как обладатели веселого характера, 16 — проявили себя как замкнутые и 8 не показали себя ни веселыми, ни замкнутыми. Сколько человек оказались одновременно веселого, но не замкнутого характера?

Решение. Пусть А — множество студентов веселого характера, В — множество студентов замкнутого характера, и С — множество студентов не обладающих ни веселым ни замкнутым характером.

Количество студентов, которые имеют либо веселый, либо замкнутый характер, равно . Обозначим через количество студентов веселого, но не замкнутого характера, тогда . Отсюда .

Пример 1.14. В бюро переводов работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один из трех языков — английский, французский и немецкий. Английский язык знают 12 человек, французский — 10 человек, немецкий — 8 человек, английский и французский — 6 человек, английский и немецкий — 4 человека и французский и немецкий — 2 человека. Все три языка знает один человек. Сколько человек работает в бюро переводов? Сколько из них знает только английский язык? Только французский язык? Только немецкий язык?

Решение. Введем следующие множества:

А — множество всех сотрудников, знающих английский язык;

В — множество всех сотрудников, знающих французский язык;

С — множество всех сотрудников, знающих немецкий язык,

D — множество всех сотрудников, знающих английский и французский языки,

E — множество всех сотрудников, знающих английский и немецкий языки.

Из условия задачи можно записать:

 

, ,
, ,

Применяя формулу включения-исключения для трех множеств, получим общее число переводчиков бюро:

Продолжим вычисления:

, ,
, ,

Применим формулу включения-исключения для двух множеств получим

Итак, английский язык знают 12 человек, из них еще хотя бы один язык знают 9 человек. Поэтому только английский знают человека.

Аналогично находим, что французский язык и еще хотя бы один язык знают человек. Поэтому число сотрудников, знающих только французский равно .

Только немецкий язык знают человек

 

32.Перестановки и размещения

Перестановки. Возьмём n различных элементов: a₁, a₂, a₃,…, a_n. Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается P_n. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n:

P_n = 1·2·3·…·(n-1)·n = n!

Символ n! (называется факториал) - сокращённая запись произведения: 1·2·3·…·(n-1)·n

Пример: Найти число перестановок из трёх элементов: a, b, c.

Решение: В соответствии с приведенной формулой: P₃ = 1·2·3 = 6.

Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

 

Размещения. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m.

Их общее количество обозначается A_n^m и равно произведению:

 

A_n^m = n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]

Пример: Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два.

Решение: В соответствии с формулой получим:

A₄²=4·3=12

Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

 

33.Сочетания

Сочетания

Пусть имеется множество из n различных объектов (элементов), т.е. объекты имеют или разные названия или разные номера. Пусть к < n, к N.

Сочетанием из n элементов по к называется любое подмножество, содержащее к элементов, взятых из данных n элементов без учета порядка выбора элементов. При этом подмножества различаются только элементами, входящими в них; порядок, в котором они расположены, не имеет значения.

Число различных сочетаний из n элементов по к можно найти по формуле:

 

Пример 5. Из группы в 25 человек нужно выделить 3 человека на дежурство. Сколькими различными способами это можно сделать?

Решение. Исходное множество различных объектов образуют студенты груп­пы. Число всех элементов множества равно 25. Выделенные 3 человека дежурных об­разуют трехэлементное подмножество из общего числа в 25 элементов (n = 25, к = 3). При этом подмножество определяется только элементами, в него входящими, но не их порядком. Поэтому, по определению имеем сочетание из 25 элементов по 3, и по формуле число различных способов выбрать трех дежурных из 25 студентов равно

Пример 6. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных шаров. Из урны наудачу берутся 9 шаров. Найдите:

1) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров;

2) сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 6 бе­лых и 3 черных;

3) сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 2 белых, 3 черных и 4 красных шара.

Решение. 1) Всего в урне 45 шаров. Считаем, что шары различимы, например, пронумерованы. Следовательно, имеем множество из n = 45 различных объектов. Наудачу взятые 9 шаров образуют подмножество из к = 9 элементов. Это подмноже­ство определяется лишь элементами, попавшими в него, порядок не имеет значения. Следовательно, это сочетание из 45 элементов по 9:

2) Взятие 9-ти шаров, из которых 6 белых и 3 черных, можно разбить на два действия: 1-е действие - возьмем 6 белых шаров из 10 белых шаров, находящихся в урне (это можно сделатьС₁₀⁶ различными способами); 2-е действие – возьмем 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров (это можно сделатьС₁₀³ различными способами). Тогда число различных способов взятия 9-ти шаров нужного состава по правилу умножения равно

3) Чтобы получить 9 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 4 красных, надо последовательно выполнить три действия: а) взять 2 белых шара из общего числа 10 белых шаров; б) взять 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров; в) взять 4 красных шара из общего числа 20 красных шаров. Число способов:

Пример 7. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из ко­робки наудачу берутся 5 деталей. Найдите число различных способов взятия 5-ти де­талей, среди которых ровно 3 бракованных.

Решение. Множество состоит из n = 50 различимых деталей, из которых 10 бракованных, 40 доброкачественных. Чтобы получить множество из 5-ти деталей, содержащих 3 доброкачественные, надо совершить последовательно 2 действия: а) взять три бракованные изделия из общего числа 10 бракованных деталей (это дей­ствие можно совершить С₁₀³ различными способами), б) взять две доброкачественные детали из 40 доброкачественных деталей (это действие можно совершить С₄₀² различ­ными способами). Тогда по правилу умножения оба действия можно совершить:

 

34.Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где — биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Биномиальные многочлены

Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:

где

≠0.

Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:

Биномиальная группа

Группа из одномерных матриц с нулевым элементом заданной на нём операцией ,

где

Единицей группы является , нулём — Обратный элемент

где

 

 

35.Функции и их свойства

 

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

 

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

 

Виды функций и их свойства

 

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

 

3) Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b- действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

 

4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола.

5) Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x² - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

 

6) Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x³ - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7) Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xⁿ, где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8) Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x^-n, где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x^-2:

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x^-2 -четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

 

9) Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция y=Öх - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

 

10) Функция y=³Öх

Свойства функции y=³Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y=³Öх нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11) Функция y=ⁿÖх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх. При нечетном n функция y=ⁿÖх обладает теми же свойствами, что и функция y=³Öх.

 

12) Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x^r, где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r, где 0<r<1

 

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x^-r, где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^-r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

 

14) Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15) Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

 

36.Понятие числовой функции

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел

 

График функции

Фрагмент графика функции

• Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком называется множество
  ,
  где обозначает декартово произведение множеств и .
• Графиком непрерывной функции является кривая на двумерной плоскости.
• Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.

Примеры

• Функция Дирихле
• Возвращает единицу, если аргумент — рациональное число, если же иррациональное, то возвращает ноль.

• Область определения: (вся числовая ось).
• Область значений: .

• Функция sgn(x)
• Возвращает знак аргумента.

• Область определения: .
• Область значений: .

• 
• Область определения: .
• Область значений: .

• Факториал
• Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, .

• Область определения: (множество натуральных чисел с нулём).
• Область значений:

• Антье (пол)
• Возвращает целую часть числа.

• Область определения: .
• Область значений: .

Способы задания функции

Словесный	С помощью естественного языка	Игрек равно целая часть от икс.
Аналитический	С помощью формулы и стандартных обозначений
Графический	С помощью графика	Фрагмент графика функции .
Табличный	С помощью таблицы значений	x                     y

Аналитический способ

Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.

Примеры:

• ;
• ;
• ;
• 

Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

Графический способ

Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

Рекурсивный способ

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры:

• факториал;
• числа Фибоначчи;
• функция Аккермана.

Словесный способ

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

Примеры:

• функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;
• функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;
• функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

Классы числовых функций

• Интегрируемые функции
• Интегрируемые по Лебегу функции
• Равномерно непрерывные функции
• Целые функции

 

 

37.Основные свойства функции

Свойства функции

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции

 

 

38.Схема исследования основных свойств функции