Оценка погрешности формулы интерполяционного типа

 

Оценим погрешность формул интерполяционного типа.

Априорная оценка погрешности интерполяции:

Отсюда погрешности вычисления интеграла:

Обозначив , получим оценку погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа:

(в предположении, что ). Отсюда следует утверждение:

Квадратурная формула интерполяционного типа с узлом: – точна для любого многочлена степени n. Т.е., если подынтегральная функция – многочлен степени n и коэффициенты вычисляются по формуле (12.18), имеет место точное равенство:

.

В частности, при имеем условие нормировки коэффициентов:

. (12.19)

Если весовая функция отсутствует (), то условие нормировки выглядит совсем просто:

. (12.20)

Справедливо также обратное утверждение:

Если квадратурная формула

(12.21)

точна для любого многочлена степени n, то она является формулой интерполяционного типа.

Для доказательства теоремы в качестве произвольного многочлена можем взять многочлен, входящий в состав интерполяционного многочлена Лагранжа:

,

поскольку с помощью линейной комбинации многочленов можно описать любой многочлен степени n. Вычислим интегралы

.

По условию теоремы . Поскольку , то . С другой стороны . Таким образом, , что и требовалось доказать.

 

Симметричные квадратурные формулы

Рассмотрим квадратурную формулу

. (12.22)

 

Пусть выполнены три условия.

1. – функция, четная относительно середины отрезка , т.е.

.

Обозначив , перепишем это равенство иначе

. (12.23)

2. Узлы расположены симметрично относительно середины отрезка:

, (12.24)

m – целая часть . Если количество узлов – нечетно (n – четно), то .

3. Коэффициенты C – попарно равны:

. (12.25)

Квадратурная формула называется симметричной, если выполнены все три условия: весовая функция четна, узлы расположены симметрично и коэффициенты попарно равны.

Для симметричной квадратурной формулы интерполяционного типа третье свойство – попарное равенство коэффициентов – вытекает из первых двух. Докажем это.

.

Произведем замену переменной :

.

Заменим теперь индекс суммирования :

,

что и требовалось доказать.

Наличие симметрии повышает точность квадратурных формул.

Теорема. Симметричная квадратурная формула интерполяционного типа с нечетным числом узлов точна для любого многочлена степени .

Доказательство. Произвольный многочлен степени представим в виде

,

где – многочлен степени n. Используя формулу бинома Ньютона, запишем:

.

В последнем выражении два последних слагаемых являются многочленами степени n. Ранее уже было доказано, что квадратурная формула интерполяционного типа, построенная на узлах точна для таких многочленов. Поэтому достаточно доказать утверждение теоремы для многочлена

.

Вследствие нечетности функции относительно середины отрезка

.

Следовательно, для доказательства теоремы нужно показать, что

.

Преобразуем

.

Обозначив в этом выражении суммы буквами , преобразуем вторую сумму. Заменим индекс суммирования: .

(вследствие симметрии квадратурной формулы).

Таким образом, и , что и требовалось доказать.

Пример 12.8. Формула Симпсона, имеющая три узла, точна для любого многочлена третьей степени. На активной вставке рис. 12.5 в верхней строчке приведено аналитическое значение интеграла в симметричных пределах от произвольного многочлена третьей степени . Знак “ ” означает в системе Mathcad применение символических преобразований. Коэффициенты a и c отсутствуют в решении, поскольку интегралы от нечетных функций в симметричных пределах равны нулю.

Во второй строчке показано вычисление того же интеграла с помощью формулы Симпсона. Видим, что формула Симпсона дает точный результат.

Формулы Ньютона-Котеса

Формулами Ньютона-Котеса называются квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке: .

Различают два типа формул Ньютона-Котеса:

– замкнутого типа, когда ;

– открытого типа, когда хотя бы один из узлов не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка .

Рассмотрим формулы замкнутого типа: .

Преобразуем выражение для коэффициентов квадратурной формулы:

.

Произведем замену переменной интегрирования:

.

.

Учитывая, что , получим

. (12.26)

Если весовая функция – четна, то формулы Ньютона-Котеса – симметричны . Условие нормировки для коэффициентов B:

. (12.27)

Если , то

. (12.28)

Пример 12.9. Построим формулы Ньютона-Котеса с двумя и тремя узлами () и .

Если , получаем формулу трапеций: , и вследствие симметрии .

Если , то . Учитывая условие нормировки и симметрию формулы, находим . Получаем, тем самым, формулу Симпсона.

Ниже приведена таблица коэффициентов формул Ньютона-Котеса. Коэффициенты представлены в виде дробей , где – общий знаменатель. В таблице представлены только коэффициенты формул с нечетным числом узлов. Все эти формулы имеют порядок и дают точный результат для многочленов степени .

 

Таблица коэффициентов формул Ньютона-Котеса
n										Z
			-928		-4540		-928

 

Пример 12.10. Найдем интеграл по формуле Ньютона-Котеса с пятью узлами. Точное значение интеграла равно . Значения коэффициентов формулы берем из приведенной таблицы. Решение показано на рис. 12.6.

 

Квадратурные формулы Гаусса