Подынтегральная функция с бесконечными значениями

Разобьем отрезок интегрирования на подотрезки так, чтобы особые точки находились только на концах подотрезка.

1. Аддитивное выделение особенности.

Подынтегральная функция разбивается на сумму , где – ограниченная функция, а – функция, интегрируемая аналитическими методами.

Пример 12.31. Пусть , а интегрирование производится от точки . Тогда основная особенность имеет вид . Положим:

.

Функция – ограничена, что и требовалось.

2. Мультипликативное выделение особенности.

Представим подынтегральную функцию в виде произведения , где – ограничена, а – положительна и интегрируема на отрезке . Тогда можно рассматривать как весовую функцию и использовать квадратурную формулу Гаусса.

Пример 12.32. Вычислим интеграл

.

Выделим весовую функцию . Такой весовой функции соответствуют многочлены Чебышева. Квадратурная формула имеет вид:

, где .

 

Задачи

1. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

2. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

3. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

4. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

5. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

6. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

7. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

8. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

9. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

10. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

11. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

12. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

13. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

14. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

15. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

16. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

17. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

18. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

19. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

20. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

21. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

.

22. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

 

Ответы

 

Обозначения: – весовая функция,

– узлы и коэффициенты формулы Гаусса,

H – значение интеграла, вычисленное по формуле Гаусса.

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

 

Вопросы для повторения

 

1. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций. Каков порядок точности этих формул?
2. Квадратурная формула Симпсона. Каков порядок точности формулы?
3. Правило Рунге.
4. Построение адаптивных квадратурных формул.
5. Квадратурные формулы интерполяционного типа. В чем состоит смысл введения весовой функции? Вычисление весовых коэффициентов. Условие нормировки весовых коэффициентов. Какова степень многочлена, для которого квадратурная формула интерполяционного типа является точной?
6. Симметричные квадратурные формулы. Какова степень многочлена, для которого симметричная квадратурная формула является точной?
7. Формулы Ньютона-Котеса.
8. Квадратурные формулы Гаусса. Какова степень многочлена, для которого формула Гаусса является точной? Система уравнений для нахождения узлов и коэффициентов формулы Гаусса. Условие нормировки коэффициентов.
9. Необходимые и достаточные условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы.
10. Система уравнений для нахождения узлов формулы Гаусса.
11. Формулировки теорем о многочлене вида , ортогональном с весом любому многочлену степени меньше n.
12. Основное свойство коэффициентов формулы Гаусса.
13. Связь формулы Гаусса с системами ортогональных многочленов. Основные примеры весовых функций: 1, , , , .
14. Влияние особенностей подынтегральной функции на точность квадратурной формулы.
15. Интегрирование разрывных функций.
16. Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования.
17. вычисление несобственных интегралов.