Условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы

Рассмотрим теперь общий случай: квадратурная формула имеет произвольное число узлов m. Требуется найти расположение узлов и значения весовых коэффициентов . Введем в рассмотрение многочлен, описывающий узлы квадратурной формулы:

.

Корни многочлена совпадают с узлами квадратурной формулы.

Теорема. О необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих наивысшую алгебраическую степень точности квадратурной формулы.

Квадратурная формула

– (12.33)

точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. многочлен на отрезке [a,b] ортогонален с весом любому многочлену степени меньше m, т.е.

; (12.34)

2. формула (12.33) является формулой интерполяционного типа, т.е. коэффициенты формулы определяются формулой:

, где (12.35)

Доказательство.

Чтобы доказать необходимость, предположим, что формула (12.33) точна для любого многочлена степени и покажем, что в этом случае выполняются оба условия теоремы.

Поскольку многочлен , имеет степень , то в силу сделанного предположения справедливо равенство

.

Но, поскольку для любого значения , обе части этого выражения равны нулю. Отсюда следует свойство ортогональности (12.34).

Справедливость второго условия (12.35) следует из доказанной ранее теоремы: если квадратурная формула вида (12.33) точна для многочлена, степень которого на единицу меньше числа узлов, то эта формула является формулой интерполяционного типа.

Тем самым доказана необходимость.

Для доказательства достаточности предположим, что оба условия теоремы выполнены, и покажем, что в этом случае квадратурная формула (12.33) точна для любого многочлена степени .

Произвольный многочлен степени можно записать в виде

, (12.36)

где и – многочлены, степени не выше : – результат деления на , а – остаток от деления. Получаем

.

Первый интеграл в этом выражении равен нулю в силу выполнения условия ортогональности, а второй в точности описывается квадратурной формулой интерполяционного типа; поэтому

.

Прибавим к правой части слагаемое , равное нулю, и объединим две суммы в одну, учитывая равенство (12.36). Получим в итоге

–

квадратурная формула (12.33) точна для произвольного многочлена степени .

Теорема полностью доказана.

Следствия.

1. Условие ортогональности (12.34) эквивалентно требованиям:

(12.37)

Эти требования представляют собой систему уравнений относительно неизвестных . Таким образом, получаем более простую систему уравнений для нахождения узлов формулы Гаусса. После того, как узлы найдены, коэффициенты формулы могут быть найдены

· либо из n выбранных уравнений системы (12.30):

,

которая является линейной относительно коэффициентов C_k;

· либо по формуле (12.35):

.

Во всех случаях целесообразно использовать условие нормировки (12.31):

Пример 12.17. Используя формулу Гаусса с одним узлом, вычислим интеграл:

.

Точное значение интеграла равно . В качестве весовой функции выберем функцию , описывающую убывание подынтегральной функции при . Из условия ортогональности определяем расположение узла формулы Гаусса:

.

Значение коэффициента найдем из условия нормировки:

.

Находим значение интеграла по формуле Гаусса: . Относительная погрешность вычислений составляет примерно 3%.

2. Из уравнений (12.37) при получаем свойство многочлена :

. (12.38)

Пример 12.18. Как следует из примера 12.12, в случае единичной весовой функции и стандартного отрезка интегрирования многочлен, описывающий узлы квадратурной формулы равен . Кривая показана на рис. 12.9 –вставке, построенной в среде Mathcad. Видим, что интеграл от многочлена на отрезке [-1,1] равен нулю.

3. Рассмотрим множество многочленов , описывающих узлы квадратурной формулы. Из доказанной теоремы следует, что

при , (12.39)

т.е. многочлены образуют систему многочленов, ортогональных с весом на отрезке [a,b]. Следовательно, для этих многочленов выполняются свойства систем ортогональных многочленов.

В частности, если весовая функция является четной относительно середины отрезка интегрирования, то нули многочленов расположены симметрично:

,

где обозначает целую часть числа . Из теоремы о симметричных квадратурных формулах интерполяционного типа следует, что коэффициенты формулы Гаусса в этом случае попарно равны:

.

Таким образом, в случае четной весовой функции построение формулы Гаусса существенно упрощается.

Произвольный отрезок интегрирования [a,b] можно привести к стандартному отрезку [-1,1] простым линейным преобразованием:

.

Здесь – весовая функция в новых координатах. При линейном преобразовании четность весовой функции сохраняется. Сохранение четности весовой функции объясняется тем, что при линейном преобразовании все части отрезка растягиваются или сжимаются равномерно. Действительно, пусть весовая функция – четна на отрезке [a,b], т.е.

, или .

Тогда

.

Не умаляя общности, можем далее рассматривать стандартный отрезок [-1,1]. Если весовая функция – четна, то узлы формулы Гаусса расположены симметрично, и многочлены четной степени являются четными функциями, а многочлены нечетной степени – нечетными функциями, т.е.

.

Пример 12. 19.

Рассмотрим вновь случай . Найдем теперь расположение узлов формулы Гаусса, используя свойства ортогональности и симметрии:

или

Отсюда находим .

Отметим, что уравнение не позволяет найти значение , т.к. интеграл от нечетной функции всегда равен нулю независимо от значения .

Пример 12. 20. Пусть . Найдем многочлен .

Уравнение для нахождения , т.е.

.

Опять-таки отметим, что в данном примере уравнения

и

не позволяют найти значения , т.к. интегралы в левой части этих уравнений равны нулю независимо от величины .

Вообще, из уравнений вида для вычисления узлов следует выбирать только те уравнения, в которых подынтегральная функция не является нечетной относительно середины отрезка интегрирования [a,b].

Пример 12. 21.

Построим формулу Гаусса с четырьмя узлами. Пусть .

Найдем вначале нули многочлена .

Для нахождения достаточно взять два уравнения вида

.

Проинтегрировав, получим уравнения:

Умножив первое уравнение на 3 и вычтя его из второго, найдем:

.

Подставив значение в первое уравнение, придем к биквадратному уравнению:

.

Решив это уравнение, получим:

.

Найдем теперь коэффициенты формулы Гаусса. Воспользуемся для этого системой уравнений (12.30).

Поскольку формула симметрична: – достаточно выписать лишь два уравнения:

при и при .

Решив эти уравнения, получим:

.

Пример 12. 22.

Построим формулу Гаусса с пятью узлами для стандартного отрезка интегрирования [-1,1], воспользовавшись вычислениями в среде Mathcad. Пусть весовая функция является четной; в частном случае . Вычисления показаны на активной вставке – рис. 12.10.

Поскольку весовая функция – четна, то квадратурная формула – симметрична, и характеристический многочлен имеет вид . Соответственно, система уравнений для нахождения узлов включает только два уравнения. Как обычно, используем условия ортогональности (12.37). Множители в подынтегральном выражении выбираем так, чтобы подынтегральная функция была четной. Система уравнений в среде Mathcad записывается между служебными словами Given и Find. Предварительно задаются начальные значения x₁, x₂ для поиска решения методом последовательных приближений. Вычисленные значения узлов записываются как координаты вектора X5.

Для нахождения коэффициентов квадратурной формулы так же, как и в предыдущем примере, воспользуемся системой уравнений (12.30), которую в данном случае запишем в виде

,

Выпишем матрицу системы M5 и столбец свободных коэффициентов V5. Затем используем встроенную функцию для решения систем линейных алгебраических уравнений lsolve. Вычисленные значения коэффициентов записываются как координаты вектора С5.

Mathcad позволяет найти также и аналитическое решение, но аналитическое решение записывается довольно громоздко. После упрощения аналитическое решение для формулы с пятью узлами можно записать в виде

Формулы, приведенные на рис. 12.10, справедливы для произвольной четной весовой функции. “Оживив” рисунок и введя новую весовую функцию , получим ответ:

.

Пример 12. 23. Вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Котеса с двумя узлами, а также с помощью формул Гаусса с одним и двумя узлами. Данный интеграл легко вычисляется аналитически (), что позволяет сравнить приближенные решения с точным.

Выделим весовую функцию: . В соответствии с условием нормировки коэффициентов квадратурной формулы .

Найдем коэффициенты формулы Ньютона-Котеса. Обозначим x₁=0, x₂=1. Согласно формуле (12.35) получим

, и по условию нормировки C₁=2-C₂=4/3.

Положение узла x1 формулы Гаусса находим из условия ортогональности (12.37):

.

Вычислив интеграл, получим , отсюда x1=1/3. Значение коэффициента С1 формулы Гаусса по условию нормировки равно 2.

 

Расчеты, проведенные в среде Mathcad, показаны на рис. 12.11.

Видим, что погрешность расчетов по формуле Гаусса с одним узлом примерно в полтора раза меньше погрешности расчетов по формуле Ньютона-Котеса с двумя узлами.

Расчеты в среде Mathcad для формулы Гаусса с двумя узлами приведены на рис. 12.12. Уравнения для нахождения узлов записываются между двумя служебными словами Given и Find. Для решения системы уравнений методом последовательных приближений предварительно задаются начальные значения узлов x1, x2. Вычисленные значения узлов записываются в векторе XH2.

Коэффициенты рассчитываются по формуле (12.37); результаты вычислений записываются в векторе С.

Видим, что погрешность вычислений данного интеграла по формуле Гаусса на 5 порядков меньше погрешности формулы Ньютона-Котеса с тем же количеством узлов.