Квадратурная формула Симпсона

Численное интегрирование

 

Содержание

12.1. Простейшие квадратурные формулы.. 2

12.2. Квадратурная формула Симпсона.. 4

12.3. Правило Рунге. 4

12.4. Формула сплайн-квадратуры.. 5

12.5. Адаптивные квадратурные алгоритмы.. 6

12.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа.. 7

12.6.1. Определение формулы интерполяционного типа. 7

12.6.2. Оценка погрешности формулы интерполяционного типа. 8

12.6.3. Симметричные квадратурные формулы.. 9

12.7. Формулы Ньютона-Котеса.. 10

12.8. Квадратурные формулы Гаусса.. 11

12.8.1. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. 11

12.8.2. Условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы.. 15

12.8.3. Теоремы о многочлене, определяющем положение узлов формулы Гаусса. 21

12.8.4. Свойство коэффициентов формулы Гаусса. 22

12.8.5. Оценка погрешности формул Гаусса. 22

12.8.6. Связь формул Гаусса с системами ортогональных многочленов. 22

12.9. Процесс Эйткена.. 28

12.10. Интегрирование разрывных функций.. 29

12.11. Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования.. 30

12.12. Вычисление несобственных интегралов.. 30

12.12.1. Интегралы с бесконечными пределами. 30

12.12.2. Подынтегральная функция с бесконечными значениями. 31

Задачи.. 32

Ответы.. 34

Вопросы для повторения.. 34

12.1. Простейшие квадратурные формулы

 

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов называют квадратурными формулами.

Пусть речь идет о вычислении интеграла

(12.1)

Предполагаем, что функция f (x) определена и может быть вычислена для любого .

Пусть отрезок интегрирования [ a,b ] разбит на n подотрезков . Пусть, далее, . Ясно, интеграл можно представить в виде суммы

, где . (12.2)

Простой квадратурной формулой называется каждая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл .

Составная квадратурная формула – это формула, дающая представление интеграла в виде суммы (12.2).

Две простейшие квадратурные формулы: формула прямоугольников и формула трапеций.

Обозначим:

. (12.3)

Формула прямоугольников аппроксимирует каждый интеграл площадью прямоугольника с основанием и высотой :

.

Составная формула прямоугольников:

. (12.4)

Формула трапеций аппроксимирует каждый интеграл площадью трапеции с основанием и высотой, линейно меняющейся от до :

.

Составная формула трапеций:

. (12.5)

 

Обозначим . Если интегрируема по Риману, то .

Предположим, что функция имеет пять непрерывных производных, и что значения этих производных не слишком велики. Разложим функцию в ряд Тейлора относительно центра подотрезка :

(12.6)

Найдем интеграл

Проинтегрируем ряд (12.6)

(12.7)

Из этой формулы следует, что при малых погрешность формулы прямоугольников на подотрезке равна плюс члены более высокого порядка.

Найдем погрешность формулы трапеций. Подставим в формулу (12.6) значения и :

,

,

. (12.8)

Умножим (12.8) на и вычтем из (12.7):

Получаем отсюда

Таким образом, при малых погрешность формулы трапеций на подотрезке равна плюс члены более высокого порядка.

Общая погрешность каждой из формул равна сумме погрешностей на отдельных подотрезках. Введем обозначения:

. (12.9)

Тогда

(12.10)

Если все достаточно малы и производная не слишком велика, , и главный член погрешности зависит от . Отсюда следует, в частности, что для многих функций формула прямоугольников примерно в два раза точнее формулы трапеций.

Формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, они дают точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции.

Если каждый подотрезок поделить пополам, то все значения , входящие в главный член погрешности E уменьшатся в 8 раз. Однако, поскольку количество подотрезков удвоится, то E уменьшится примерно в 4 раза. Разность результатов, полученных до и после удвоения числа подотрезков можно использовать для оценки погрешности и уточнения результата. Это возможно и для формулы прямоугольников, и для формулы трапеций, однако, лишь для достаточно гладких подынтегральных функций.

Пример 12.1. С помощью формул прямоугольников и трапеций вычислим интеграл , разбив отрезок интегрирования на два подотрезка. Сравним полученные результаты с точным значением интеграла . Решение в среде Mathcad показано на рис. 12.1. Видим, что погрешность формулы трапеций примерно в 2 раза выше погрешности формулы прямоугольников.

 

 

Правило Рунге

Если подынтегральная функция – достаточно гладкая, то правило Рунге позволяет найти оценку погрешности приближенного интегрирования.

Пусть вычисления проводятся с помощью квадратурной формулы, имеющей порядок p. Обозначим:

– результат приближенного вычисления интеграла ;

– результат приближенного вычисления того же интеграла при делении отрезка на два подотрезка половинной длины .

Погрешность вычислений:

,

,

где C – константа, зависящая от значения производной .

.

Первая формула Рунге – оценка погрешности вычислений с делением отрезка пополам:

(12.13)

Вторая формула Рунге – уточненный результат:

(12.14)

Замечание. Формулы Рунге применимы, когда известен порядок точности квадратурной формулы. Однако, порядок формулы зависит от гладкости подынтегральной функции. Для функций, имеющих особенности, порядок точности уменьшается и формулы Рунге неприменимы.

Пример 12.3. С помощью составной формулы трапеций вычислим интеграл от гладкой функции на отрезке , поделив отрезок на подотрезков. Повторим вычисления для удвоенного числа отрезков и уточним результат по правилу Рунге. На рис.12.3 приведено решение в среде Mathcad.

 

 

Пример 12.4. Используя формулу трапеций и правило Рунге, найдем более точную квдратурную формулу.

Обозначим:

Формула трапеций на всем отрезке :

Формула трапеций при делении отрезка пополам:

Уточненное значение интеграла:

Получили формулу Симпсона.

 

Формула сплайн-квадратуры

Кубический сплайн на отрезке :

, (12.15)

где .

Заметим, что

, .

Следовательно,

. (12.16)

Формула сплайн-квадратуры есть формула трапеций плюс поправочный член, зависящий от коэффициентов . Оценим значение этой поправки, предполагая, что функция монотонна на малом отрезке .

Таким образом, поправочный член аппроксимирует главный член погрешности формулы трапеций.

Пример 12.5. Вычислим интеграл по формуле сплайн-квадратуры, разбив отрезок интегрирования на две части и представив подынтегральную функцию естественным сплайном. Значения подынтегральной функции в узлах интерполяции:

.

Расстояние между узлами равно . Находим

.

Для естественного сплайна и уравнение для нахождения имеет вид: . Отсюда . Учитывая, что значения интегралов на двух подотрезках одинаковы, получаем по формуле сплайн-квадратуры

.

Сравнивая точность вычислений интеграла с помощью разных квадратурных формул и с разбиением отрезка интегрирования на два подотрезка (см. примеры 1.1 и 2.1), заключаем, что наиболее точной является формула Симпсона, затем следует формула сплайн-квадратуры, затем – формула прямоугольников и наименее точной в данном случае оказывается формула трапеций.

 

Формулы Ньютона-Котеса

Формулами Ньютона-Котеса называются квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке: .

Различают два типа формул Ньютона-Котеса:

– замкнутого типа, когда ;

– открытого типа, когда хотя бы один из узлов не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка .

Рассмотрим формулы замкнутого типа: .

Преобразуем выражение для коэффициентов квадратурной формулы:

.

Произведем замену переменной интегрирования:

.

.

Учитывая, что , получим

. (12.26)

Если весовая функция – четна, то формулы Ньютона-Котеса – симметричны . Условие нормировки для коэффициентов B:

. (12.27)

Если , то

. (12.28)

Пример 12.9. Построим формулы Ньютона-Котеса с двумя и тремя узлами () и .

Если , получаем формулу трапеций: , и вследствие симметрии .

Если , то . Учитывая условие нормировки и симметрию формулы, находим . Получаем, тем самым, формулу Симпсона.

Ниже приведена таблица коэффициентов формул Ньютона-Котеса. Коэффициенты представлены в виде дробей , где – общий знаменатель. В таблице представлены только коэффициенты формул с нечетным числом узлов. Все эти формулы имеют порядок и дают точный результат для многочленов степени .

 

Таблица коэффициентов формул Ньютона-Котеса
n										Z
			-928		-4540		-928

 

Пример 12.10. Найдем интеграл по формуле Ньютона-Котеса с пятью узлами. Точное значение интеграла равно . Значения коэффициентов формулы берем из приведенной таблицы. Решение показано на рис. 12.6.

 

Квадратурные формулы Гаусса

Процесс Эйткена

 

Для применения правила Рунге нужно знать порядок точности квадратурной формулы. Однако, реальный порядок формулы не всегда известен. Порядок формулы снижается, если подынтегральная формула имеет какие-либо особенности. Процесс Эйткена, использующий расчеты на трех сетках, позволяет уточнить результат и оценить реальный порядок квадратурной формулы.

Пусть метод имеет неизвестный порядок p. Для упрощения расчетов выберем три сетки с постоянным отношением длины шагов:

Обозначим:

I – точноезначение интеграла

I _k – значение интеграла, вычисленное на сетке с шагом h _k.

Ограничившись главным членом погрешности, можем записать оценки погрешности:

(12.54)

где С – постоянная. Имеем три уравнения и три неизвестных: I, C, p. Получаем

Отсюда

В правой части прибавим и вычтем слагаемое и найдем из полученного выражения I:

(12.55)

Целесообразно использовать формулу для вычисления интеграла I использовать именно в таком виде: наиболее точное из трех вычислений плюс малая поправка.

Для оценки порядка квадратурной формулы попарно вычтем уравнения (3):

Отсюда находим эффективный порядок квадратурной формулы

(12.56)

Пример 12.28.

Построим приближенные вычисления для интеграла . Найдем значение интеграла по формуле трапеций и по формуле Симпсона. Для формулы трапеций будем использовать три сетки. Значения подынтегральной функции даны в таблице.

	0.00	0.25	0.50	0.75	1.00
	0.0000	0.5000	0.7071	0.8660	1.0000

Результаты вычислений для разных значений шага сетки приведены в таблице.

Шаг сетки	1.00	0.50	0.25
Формула трапеций	0.5000	0.6036	0.6433
Формула Симпсона	0.6381	0.6565	–

Результаты вычислений далеки от точного значения интеграла. Применение процесса Эйткена совместно с формулой трапеций дает неплохой результат: 0.6680. Данная подынтегральная функция имеет особенность в точке – уже первая производная в этой точке обращается в бесконечность. Оценка с помощью процесса Эйткена порядка точности формулы трапеций для данной подынтегральной функции дает значение

В следующей таблице приведены оценки абсолютной величины погрешности для разных квадратурных формул на классе функций, имеющих на отрезке кусочно непрерывную k -ю производную, ограниченную по модулю константой . Стрелка в таблице означает перенос оценки из предыдущего столбца. таблица взята из книги: Калиткин Н.Н. “Численные методы”.

 

k
Формула трапеций
Формула прямоугольников
Формула Симпсона
Формула Гаусса

 

Из таблицы видим, что реальный порядок квадратурной формулы не может быть больше порядка непрерывной производной подынтегральной функции.

 

Задачи

1. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

2. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

3. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

4. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

5. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

6. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

7. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

8. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

9. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

10. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

11. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

12. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

13. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

14. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

15. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

16. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

17. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

18. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

19. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

20. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

21. Используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

.

22. Используя квадратурную формулу Гаусса с одним узлом и выбрав подходящую весовую функцию, вычислить интеграл:

 

Ответы

 

Обозначения: – весовая функция,

– узлы и коэффициенты формулы Гаусса,

H – значение интеграла, вычисленное по формуле Гаусса.

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

 

Вопросы для повторения

 

1. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций. Каков порядок точности этих формул?
2. Квадратурная формула Симпсона. Каков порядок точности формулы?
3. Правило Рунге.
4. Построение адаптивных квадратурных формул.
5. Квадратурные формулы интерполяционного типа. В чем состоит смысл введения весовой функции? Вычисление весовых коэффициентов. Условие нормировки весовых коэффициентов. Какова степень многочлена, для которого квадратурная формула интерполяционного типа является точной?
6. Симметричные квадратурные формулы. Какова степень многочлена, для которого симметричная квадратурная формула является точной?
7. Формулы Ньютона-Котеса.
8. Квадратурные формулы Гаусса. Какова степень многочлена, для которого формула Гаусса является точной? Система уравнений для нахождения узлов и коэффициентов формулы Гаусса. Условие нормировки коэффициентов.
9. Необходимые и достаточные условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы.
10. Система уравнений для нахождения узлов формулы Гаусса.
11. Формулировки теорем о многочлене вида , ортогональном с весом любому многочлену степени меньше n.
12. Основное свойство коэффициентов формулы Гаусса.
13. Связь формулы Гаусса с системами ортогональных многочленов. Основные примеры весовых функций: 1, , , , .
14. Влияние особенностей подынтегральной функции на точность квадратурной формулы.
15. Интегрирование разрывных функций.
16. Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования.
17. вычисление несобственных интегралов.

 

Численное интегрирование

 

Содержание

12.1. Простейшие квадратурные формулы.. 2

12.2. Квадратурная формула Симпсона.. 4

12.3. Правило Рунге. 4

12.4. Формула сплайн-квадратуры.. 5

12.5. Адаптивные квадратурные алгоритмы.. 6

12.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа.. 7

12.6.1. Определение формулы интерполяционного типа. 7

12.6.2. Оценка погрешности формулы интерполяционного типа. 8

12.6.3. Симметричные квадратурные формулы.. 9

12.7. Формулы Ньютона-Котеса.. 10

12.8. Квадратурные формулы Гаусса.. 11

12.8.1. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. 11

12.8.2. Условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы.. 15

12.8.3. Теоремы о многочлене, определяющем положение узлов формулы Гаусса. 21

12.8.4. Свойство коэффициентов формулы Гаусса. 22

12.8.5. Оценка погрешности формул Гаусса. 22

12.8.6. Связь формул Гаусса с системами ортогональных многочленов. 22

12.9. Процесс Эйткена.. 28

12.10. Интегрирование разрывных функций.. 29

12.11. Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования.. 30

12.12. Вычисление несобственных интегралов.. 30

12.12.1. Интегралы с бесконечными пределами. 30

12.12.2. Подынтегральная функция с бесконечными значениями. 31

Задачи.. 32

Ответы.. 34

Вопросы для повторения.. 34

12.1. Простейшие квадратурные формулы

 

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов называют квадратурными формулами.

Пусть речь идет о вычислении интеграла

(12.1)

Предполагаем, что функция f (x) определена и может быть вычислена для любого .

Пусть отрезок интегрирования [ a,b ] разбит на n подотрезков . Пусть, далее, . Ясно, интеграл можно представить в виде суммы

, где . (12.2)

Простой квадратурной формулой называется каждая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл .

Составная квадратурная формула – это формула, дающая представление интеграла в виде суммы (12.2).

Две простейшие квадратурные формулы: формула прямоугольников и формула трапеций.

Обозначим:

. (12.3)

Формула прямоугольников аппроксимирует каждый интеграл площадью прямоугольника с основанием и высотой :

.

Составная формула прямоугольников:

. (12.4)

Формула трапеций аппроксимирует каждый интеграл площадью трапеции с основанием и высотой, линейно меняющейся от до :

.

Составная формула трапеций:

. (12.5)

 

Обозначим . Если интегрируема по Риману, то .

Предположим, что функция имеет пять непрерывных производных, и что значения этих производных не слишком велики. Разложим функцию в ряд Тейлора относительно центра подотрезка :

(12.6)

Найдем интеграл

Проинтегрируем ряд (12.6)

(12.7)

Из этой формулы следует, что при малых погрешность формулы прямоугольников на подотрезке равна плюс члены более высокого порядка.

Найдем погрешность формулы трапеций. Подставим в формулу (12.6) значения и :

,

,

. (12.8)

Умножим (12.8) на и вычтем из (12.7):

Получаем отсюда

Таким образом, при малых погрешность формулы трапеций на подотрезке равна плюс члены более высокого порядка.

Общая погрешность каждой из формул равна сумме погрешностей на отдельных подотрезках. Введем обозначения:

. (12.9)

Тогда

(12.10)

Если все достаточно малы и производная не слишком велика, , и главный член погрешности зависит от . Отсюда следует, в частности, что для многих функций формула прямоугольников примерно в два раза точнее формулы трапеций.

Формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, они дают точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции.

Если каждый подотрезок поделить пополам, то все значения , входящие в главный член погрешности E уменьшатся в 8 раз. Однако, поскольку количество подотрезков удвоится, то E уменьшится примерно в 4 раза. Разность результатов, полученных до и после удвоения числа подотрезков можно использовать для оценки погрешности и уточнения результата. Это возможно и для формулы прямоугольников, и для формулы трапеций, однако, лишь для достаточно гладких подынтегральных функций.

Пример 12.1. С помощью формул прямоугольников и трапеций вычислим интеграл , разбив отрезок интегрирования на два подотрезка. Сравним полученные результаты с точным значением интеграла . Решение в среде Mathcad показано на рис. 12.1. Видим, что погрешность формулы трапеций примерно в 2 раза выше погрешности формулы прямоугольников.

 

 

Квадратурная формула Симпсона