Адаптивные квадратурные алгоритмы

В адаптивных квадратурных программах отрезок интегрирования разбивается на подотрезки такой длины, при которой обеспечивается требуемая точность вычислений. Пусть требуется вычислить интеграл

В соответствии с правилом Рунге оценка погрешности вычислений на отрезке равна

,

где – результат приближенного вычисления интеграла на отрезке длиной ,

– результат вычислений при делении отрезка на два подотрезка половинной длины ,

p – порядок точности квадратурной формулы.

Основная операция типичной адаптивной программы состоит в делении каждого подотрезка пополам до тех пор, пока не будет выполнено следующее условие

,

где – допустимая погрешность вычислений интеграла на всем отрезке . Если это условие будет выполнено для каждого подотрезка, то будет достигнута требуемая точность вычислений. При этом длина подотрезков может быть разной.

Отметим, что приведенные рассуждения справедливы, если подынтегральная функция имеет p непрерывных производных, и, соответственно, погрешность на каждом подотрезке пропорциональна величине . Если подынтегральная функция не достаточно гладкая, то порядок квадратурной формулы становится неизвестным.

В системе Help системы Mathcad приведен пример простой адаптивной программы, в которой отрезок интегрирования делится на отрезки равной длины. Программа показана на рис. 12.4. Программа состоит из двух подпрограмм: Simpson(f,a,b,N) и Adapt(f,a,b). Первая подпрограмма вычисляет интеграл по формуле Симпсона на отрезке [a,b] для подынтегральной функции f; при этом отрезок [a,b] делится предварительно на N частей.

В подпрограмме Adapt задана абсолютная допустимая погрешность . Начальное число подотрезков выбрано равным N=10. Если при выбранном значении N погрешность слишком велика, количество подотрезков удваивается до тех пор, пока требуемая точность не будет достигнута.

Заметим, что в программе используется завышенная оценка погрешности формулы Симпсона: – вместо , как это следует из формулы Рунге. Поэтому для гладких подынтегральных функций программа дает завышенную точность. Однако, завышенная оценка погрешности во многих случаях позволяет избежать ошибок, если подынтегральная функция имеет какие-либо особенности.

 

Квадратурные формулы интерполяционного типа

 

Определение формулы интерполяционного типа

 

В отличие от предыдущих разделов не будем разбивать отрезок интегрирования на подотрезки. Построим квадратурную формулу вида

, (12.17)

где – узлы формулы, – коэффициенты, – весовая функция. Разбиение подынтегральной функции F на два сомножителя целесообразно, если эта функция имеет какие-либо особенности. В этом случае выделяют интегрируемую на отрезке весовую функцию, которая описывает особенности подынтегральной функции. Обычно предполагается, что .

Пример 12.6. При вычислении несобственного интеграла

,

где – непрерывная функция, целесообразно функцию рассматривать как весовую.

Пример 12.7. При вычислении интегралов в бесконечных пределах большое значение имеет закон, по которому функция убывает при . При вычислении таких интегралов целесообразно представить подынтегральную функцию в виде , где весовая функция описывает закон убывания , а является гладкой функцией, допускающей хорошее приближение интерполяционным многочленом.

В частном случае непрерывной подынтегральной функции можем считать и .

Для нахождения коэффициентов аппроксимируем функцию с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа

.

Подставим интерполяционный многочлен в формулу (12.17):

Поменяв в этой формуле порядок интегрирования и суммирования, придем к формуле (12.17), где

. (12.18)

Формула (12.17) называется квадратурной формулой интерполяционного типа, если ее коэффициенты определяются соотношением (12.18). Из равенства (12.18) видим, что особенности подынтегральной функции отражены уже в значениях коэффициентов .

Примерами формул интерполяционного типа являются рассмотренные ранее квадратурные формулы: прямоугольников, трапеций и Симпсона.